3.3.1. Выборочное распределение среднего значения в случае, когда дисперсия известна

Приведем простейший пример выборочного распределения. Пусть производится независимых измерений некоторой переменной, например обратного коллекторного тока в транзисторе. В этом случае совместная плотность вероятности просто равна

Предположим, что нас интересует изменчивость выборочного среднего этих измерений. Тогда если предположить, что каждая распределена как то можно показать [2], что плотность вероятности среднего арифметического значения случайных величин будет распределена как т. е.

(3.3.2) называется выборочным распределением среднего для нормальных случайных величин. Частотная интерпретация, которую можно применить к (3.3.2), заключается в следующем. Если представить себе очень большое число экспериментов, каждый из которых состоит из независимых измерений, взятых из нормальной популяции с то гистограмма распределения х стремилась бы к нормальному закону (3.3.2).

Выборочное распределение выборочного среднего обычно очень близко к нормальному, даже если отдельные распределения

сами не являются нормальными. Этот важный результат следует из центральной предельной теоремы [2].

Выборочное распределение, подобно любому другому распределению, можно описать с помощью его моментов, обычно называемых выборочными моментами. Например, выборочное распределение среднего нормальных случайных величин (3.3.2) полностью описывается с помощью выборочных моментов

Частотная интерпретация, которую можно дать этим моментам, состоит в том, что среднее из большого числа выборочных средних будет лежать очень близко к среднему значению популяции, или теоретическому значению и что изменчивость выборочных средних от выборки к выборке характеризуется дисперсией

Таблица 3.4. Вероятности, относящиеся к нормированной нормальной плотности

Одно из основных применений выборочных распределений состоит в том, что они позволяют делать вероятностные утверждения относительно случайных величин, таких, как X. Например, рассмотрим выборку из 9 значений случайной величины X, про которую известно, что она распределена нормально с единичной дисперсией, но неизвестным средним значением Из (3.3.2) и (3.3.3) получаем, что случайная величина X распределена нормально с . Следовательно, воспользовавшись приводимыми в табл. 3.4 вероятностями, относящимися к нормальному закону, можно подсчитать вероятность того, что наблюденное значение х случайной величины X будет лежать в заданном интервале. Например,

или

Это означает, что если случайная величина X распределена нормально со средним значением и дисперсией 1, то с вероятностью 0,95 случайная величина X будет лежать не дальше, чем на ±0,653 - от Частотная интерпретация этого факта состоит в том, что из большого числа выборок, каждая из которых состоит из 9 реализаций X, приблизительно одна из двадцати выборочных оценок х будет отличаться от истинного значения больше, чем на 0,653. Обратная и более трудная задача получения выводов относительно по данному значению х обсуждается в гл. 4.