5.1.2. Описание случайного процесса

Определение случайного процесса. При анализе данных в виде временных рядов возникает необходимость выполнять различные операции над фактическими числами, полученными из некоторого эксперимента. До того как данные собраны, удобно рассматривать их, как это делается во всех статистических работах, как один из многих наборов данных, которые могли бы быть получены из этого эксперимента. Это достигается тем, что с каждым моментом времени t в интервале связывается некоторая случайная величина имеющая выборочное пространство и плотность вероятности Кроме того, нужно задать совместные плотности вероятности, относящиеся к любому произвольному набору моментов времени Таким образом, временной ряд можно описать с помощью упорядоченного множества случайных величин в случае непрерывного ряда и упорядоченного множества случайных величин в случае дискретного ряда.

Упорядоченное множество случайных величин называется случайным процессом. Случайный процесс дает вероятностное описание физического явления, которое развивается во времени по вполне определенным вероятностным законам. Заметим, что выборочное пространство, связанное с одномерным случайным процессом, дважды бесконечно. Оно простирается для каждого момента времени от до и само время изменяется также от до Дважды бесконечное множество функций времени, которые могут быть определены на этом выборочном пространстве, называется ансамблем.

Ансамбль. Наблюденный временной ряд рассматривается как одна реализация бесконечного ансамбля функций, которые могли бы быть наблюдены. Этот один или несколько временных рядов, предназначенных для анализа, рассматриваются как выбранные случайным образом из такого ансамбля функций, наподобие того, как производится выборка лиц среди населения для проведения обследования. Такая выборка Должна быть представительной для всего описываемого населения, что следует учитывать, начиная обследование. Точно так же при работе с временными рядами для ясного понимания вопроса полезно в начале исследования описать точный характер ансамбля, или популяции, типичным представителем которого считается наблюденный временной ряд.

Предположим, например, что нужно измерить высоту волн с помощью передатчика, прикрепленного к бую. Если буй бросают в море случайным образом, то наблюденный временной ряд можно было бы рассматривать как один из многих рядов, которые,

возможно, наблюдались бы при слегка отличающихся местоположениях буя. Более тщательная проверка, возможно, обнаружила бы, что этот временной ряд типичен, если принять во внимание конкретное время дня или время года или же конкретный район в океане. Чем больше факторов влияют на эксперимент, тем шире становится ансамбль описываемых временных рядов и, следовательно, тем большая осторожность требуется при интерпретации результатов.

Рис. 5.3. Представители ансамбля, образованного случайным процессом.

Во многих практических задачах интересно знать, как изменяются свойства временного ряда, когда некоторые внешние условия намеренно изменяются по плану эксперимента. В других случаях невозможно осуществлять контроль над внешними факторами. Например, нельзя управлять солнечной радиацией при изучении ее влияния на статистические свойства атмосферной турбулентности. Тем не менее корреляция статистических свойств временных рядов с этими неконтролируемыми факторами может

оказаться важнейшим выводом, полученным из анализа рядов. Основная цель этого обсуждения заключается в том, чтобы показать следующее: вопрос о том, из чего должен состоять ансамбль возможных временных рядов в любой конкретной задаче, должен решаться на основе разумных научных заключений, а не на основе чисто статистических аспектов.

Распределения вероятностей, связанные со случайным процессом. Если ансамбль ясно определен, то поведение временного ряда в данный момент времени можно описать до сбора данных с помощью случайной величины и ее плотности вероятности Как подчеркивалось в гл. 3, выбор функции является делом здравого суждения или опыта.

Аналогично случайные величины и , соответствующие двум моментам времени можно описать с помощью их совместной плотности вероятности которую сокращенно обозначим Один из способов интерпретации этих плотностей вероятности состоит в следующем: через отверстие шириной расположенное около точки в момент времени проходят члены ансамбля функций, составляющие от него долю как показано на рис. 5.3; аналогично через отверстие от до в момент времени и отверстие от до в момент времени проходят члены ансамбля, составляющие долю

Другой полезной функцией является условная плотность вероятности

которая читается как «плотность вероятности при условии Таким образом, из проходящих через отверстие от до в момент членов ансамбля, составляющих от него долю только часть функций, составляющая от прошедших долю пройдет через отверстие от до в момент

В общем случае одномерный случайный процесс может быть описан с помощью совместных плотностей вероятности для произвольно выбранного набора моментов времени но такое описание могло бы быть довольно сложным. На практике необходим более простой подход, основанный на младших моментах.

Простые моменты случайного процесса. Для любого t можно определить одномерные моменты вида

Отсюда очень просто описать случайный процесс, построив функцию среднего значения и функцию дисперсии в зависимости от времени. Аналогично двумерные моменты

можно было бы использовать для описания зависимости между значениями временного ряда в двух соседних точках Простейшим из моментов (5.1.3) и наиболее важным на практике является автоковариационная функция

Отметим, что Заметим также, что ковариационная функция временного ряда имеет те же свойства, что и ковариация между двумя случайными величинами (эти свойства мы перечислили в разд. 3.2.2).

Поскольку зависит от масштаба измерения X, удобно при сравнении двух рядов, которые могут иметь различные масштабы измерения, определить нормированную величину, называемую автокорреляционной функцией

Подобно обычному коэффициенту корреляции (3.2.19), лежит между крайними значениями —1 и +1, соответствующими полной отрицательной и положительной линейным зависимостям.

Вообще, случайный процесс можно было бы описывать с помощью его старших моментов

но они не очень полезны на практике.