5.3.5. Практические аспекты оценивания ковариационных функций

В разд. 5.1.5 было указано, почему нужно изучать ковариационные функции: во-первых, они входят в уравнения для синтеза линейных систем и, во-вторых, их можно использовать при оценивании функций отклика на единичный импульс. С более общей статистической точки зрения одна из важных причин изучения временных рядов заключается в том, чтобы дать возможность построить модель для лежащего в основе явления случайного процесса. Эту модель можно затем использовать для прогноза, синтеза систем или для других целей, таких, как имитация систем. В таких случаях эмпирический анализ ковариационной функции или спектра может дать полезные наводящие идеи относительно какие модели должны были бы соответствовать временному ряду.

Пример. Чтобы проиллюстрировать, как можно использовать корреляционную функцию для того, чтобы в сжатом виде выразить информацию, содержащуюся в исходном ряде, рассмотрим выборочную оценку корреляционной функции для данных о партиях продукта, приведенных на рис. 5.2. Первые пятнадцать значений этой оценки, полученные по формулам (5.3.33) и (5.3.25), даны в табл. 5.2; их график построен на рис. 5.6. Из табл. 5.2 видно, что корреляции меняют знак. Это является следствием того, что за высоким выходом продукта в одной партии следует, как правило,

пониженный выход продукта в следующей партии, и наоборот. Видно также, что корреляции почти полностью затухают, начиная с запаздывания, равного 6, и показывают последовательное ослабление зависимости между наблюдениями при увеличении запаздывания между ними.

Таблица 5.2. (см. скан) Первые 15 значений выборочной корреляционной функции для данных из табл. 5.1

Основной механизм, порождающий этот вид корреляционной функции, хорошо известен для приведенных данных. Промышленная установка, на которой были получены наблюдения, представляла собой дистилляционную колонку, где содержимое перегонного куба подогревалось в течение некоторого времени, и продукт перегонки накапливался и сцеживался. Во время перегонки дегтеобразные остатки скапливаются в перегонном кубе и сцеживаются в конце каждой партии. Однако это сцеживание не является полным, так что некоторое количество дегтеобразного вещества остается в перегонном кубе. Это оказывает неблагоприятное действие на выход продукта в следующей партии, так что производится меньше продукта перегонки и, следовательно, меньше остается дегтеобразных веществ. Этим объясняется отрицательная корреляция между партиями.

Вычисление выборочной оценки корреляционной функции. Для вычисления выборочной оценки корреляционной функции необходима вычислительная машина. Программа вычислений для этой цели описана в приложении П5.3. Однако для того, чтобы лучше понять последовательные стадии вычислений, желательно, чтобы читатель просчитал один пример на настольной счетной машине. Для иллюстрации рассмотрим вычисление для данных о партиях продукта из табл. 5.1. Выборочную оценку (5.3.25) можно записать в виде

и, следовательно, большая часть времени счета идет на вычисление сумм сдвинутых произведений При работе с настольной вычислительной машиной следует иметь в виду, что если из каждого наблюдения вычесть произвольную константу, то отклонения не изменятся, а следовательно, и не изменится. Поэтому для снижения порядка чисел, которые требуется перемножить, удобно вычесть из каждого наблюдения константу, по возможности близкую к среднему значению. Данные в табл. 5.1 изменяются от 20 до 80. Поэтому подходящей константой для вычитания является 50. В таком случае получим 68

Аналогично имеем

Следовательно,

Дисперсия ряда равна 139,8. Следовательно,

что совпадает со вторым значением в табл. 5.2.

Резюме. Ниже мы резюмируем важные моменты, на которые следует обратить внимание при оценивании корреляционной функции.

а) Среднеквадратичная ошибка оценок, имеющих нормирующий множитель , обычно меньше, чем у оценок с множителем Кроме того, первые являются положительно определенными, а вторые нет.

б) Необходимо провести в той или иной форме коррекцию данных для исключения влияния низкочастотных трендов. В простых случаях, как, например, в (5.3.25), этого можно добиться с помощью устранения постоянной составляющей. Эта коррекция среднего значения сохраняет положительную определенность выборочной оценки. В других случаях, таких, как (5.3.27), тренды должны устраняться с помощью операции фильтрации, а автоковариации надо считать по формуле (5.3.29).

в) Равенство (5.3.19) показывает, что если корреляции в исходном ряде достаточно сильны, то будут и сильные корреляции оценок автоковариаций. Выборочную ковариационную функцию, аргументом которой является запаздывание, можно рассматривать как новый временной ряд, полученный из первоначального временного ряда в таком случае (5.3.19) показывает, что, вообще говоря, этот новый временной ряд будет сильнее коррелирован, чем исходный.

г) Одно из следствий корреляции соседних ординат оценки ковариационной функции заключается в том, что ее выборочная оценка не всегда затухает так же быстро, как математическое ожидание оценки. Чтобы проиллюстрировать этот эффект, на рис. 5.13 приведена теоретическая корреляционная функция дискретного процесса авторегрессии второго порядка:

Значения этой корреляционной функции можно получать из рекуррентного соотношения (5.2.43) при а именно

Корреляционная функция представляет собой затухающую периодическую функцию вида (5.2.38) и имеет период, равный 8. На рис. 5.13 приведены две выборочные корреляционные функции искусственного ряда, полученного по формуле (5.3.36), причем в качестве брались случайные нормальные числа из таблицы [7]. Верхняя функция сосчитана по 100 наблюдениям, а нижняя по 400. Характерной особенностью выборочной корреляционной функции, сосчитанной по 100 наблюдениям, являются большие осцилляции, которые сохраняются даже там, где теоретическая функция уже близка к нулю. Дело в том, что из-за большой положительной корреляции соседних значений выборочных ковариаций за большим положительным значением корреляции следует, как правило, другое большое положительное значение. В результате этого искажается вид корреляционной функции. Выборочная корреляционная функция, сосчитанная по 400 наблюдениям, затухает быстрее, но все еще значительно отличается от теоретической корреляционной функции.

Главный вывод, который следует из проведенного обсуждения, состоит в том, что иногда опасно придавать слишком большое значение видимым особенностям выборочной корреляционной функции, особенно сосчитанной по коротким рядам. В настоящей книге мы будем использовать корреляционную функцию главным образом как промежуточную ступень при оценивании спектральной плотности, а также для получения рекомендаций при спектральном анализе.

(кликните для просмотра скана)

д) Другое следствие формулы (5.3.19) состоит в том, что нельзя судить об изменчивости одиночного значения корреляции, не учитывая других значений. Предположим, например, что имеется модель временного ряда и что корреляционная функция этой модели известна. В учебниках, не являющихся специально статистическими, наблюденная и теоретическая корреляционные функции часто сравниваются в предположении, что соседние точки оценки корреляционной функции независимы. Из-за сильной корреляции этих соседних значений, что видно из (5.3.19), такое предположение может быть совершенно ошибочным. Для точного анализа нужно было бы при сравнении наблюденной и теоретической корреляционных функций пользоваться совместной плотностью вероятности корреляций, хотя в таком случае это сравнение, по всей видимости,

Таблица 5.3. (см. скан) Выборочные корреляционные функции, построенные по двум выборкам искусственного белого шума

было бы очень сложным. Когда задана параметрическая модель, гораздо лучше использовать методы правдоподобия или наименьших квадратов, которые описаны в гл. 4.

Критерий для проверки гипотезы о том, что шум белый. Есть один случай, когда соседние точки выборочной корреляционной функции действительно являются некоррелированными. Это имеет место для чисто случайного временного ряда, или белого шума. В этом случае из (5.3.19) следует, что при отсутствии коррекции среднего значения ковариация корреляционных оценок равна нулю.

Рис. 5.14. Выборочная корреляционная функция для выборки, образованной случайными нормальными числами,

Коррекция среднего значения вносит в ковариацию члены порядка поэтому этими членами можно пренебречь. Можно показать, [12], что, когда число членов ряда достаточно велико, допустимо считать, что распределено по нормальному закону с нулевым средним значением и дисперсией

В качестве примера в табл. 5.3 приведены выборочные корреляционные функции, сосчитанные по случайным нормальным числам, выданным вычислительной машиной. Результаты некоторого эксперимента по имитации заставили предположить, что эти числа на самом деле были очень непохожи на случайные. Поэтому были взяты массивы чисел, примерно по 1000 штук в массиве, и по ним сосчитаны выборочные корреляционные функции. Типичная такая функция, сосчитанная по 900 числам, частично приведена в табл. 5.3 под заголовком «Ряд 1». Поскольку стандартное отклонение выборочной оценки одиночного значения корреляционной функции равно то 95%-ные доверительные границы для одиночной корреляции приблизительно равны

доверительный интервал изображен рядом с выборочной корреляционной функцией на рис. 5.14. Видно, что 7 из 32 доверительных интервалов не накрывают нуль. Исходя из доверительного уровня, следовало бы ожидать, что примерно 5% от общего числа доверительных интервалов, т. е. 1 или 2, не накроют нуль. На самом деле, функция на рис. 5.14 обнаруживает систематическую компоненту с периодом, равным 4, из-за несовершенства метода получения случайных нормальных чисел.

Под заголовком «Ряд 2» в табл. 5.3 приведена типичная выборочная корреляционная функция, сосчитанная после того, как метод получения случайных чисел был улучшен. Заметим, что лишь для доверительный интервал не накрывает нуль. Это находится в согласии с гипотезой о том, что временной ряд является чисто случайным.