5.2. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ И КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИИ

5.2.1. Основные свойства

В этом разделе выводятся свойства корреляционной и ковариационной функций. Взаимную ковариационную функцию введенную в разд. 5.1.5, мы будем подробно обсуждать в гл. 8.

В общем случае случайный процесс имеет ковариационную функцию

и корреляционную функцию

Если -стационарный, то (5.2.1) и (5.2.2) сводятся к

и

соответственно. Отсюда

Функция , зависящая от запаздывания и, называется корреляционной функцией стационарного процесса Если процесс

непрерывный, и может принимать любое значение от до для дискретного же процесса будет определена лишь для целых значений .

Ниже перечислены и коротко объяснены свойства корреляционной функции (5.2.4).

Свойство 1.

Это немедленно следует из определения (5.2.4), если положить

Свойство 2.

Из-за стационарности процесса мы имеем

Из (5.2.4) следует, что Следовательно, как ковариационная, так и корреляционная функции являются четными функциями от запаздывания . Поэтому их нужно вычислять лишь для неотрицательных .

Свойство 3.

Это можно получить из того факта, что дисперсия случайной величины

неотрицательна, с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в разд. 3.2.4.

Свойство 4. Корреляционная матрица является положительно полуопределенной, т. е. определитель

и все его главные миноры неотрицательны. Этот результат является более общим, чем свойство 3. Он следует из того, что дисперсия случайной величины

неотрицательна. Из свойства 4 вытекает, что корреляции стационарного процесса не могут быть произвольными, но должны удовлетворять некоторым соотношениям. Заметим, что при свойство 4 сводится к свойству 3. Свойство 4 положительной полуопределенности приводит к понятию спектра мощности процесса, которое будет обсуждаться подробнее в гл. 6 и 11.

Свойство 5. Если случайный процесс является непрерывным, то должна быть непрерывной функцией от запаздывания и. Это условие непрерывности требуется для того, чтобы можно было построить разумную математическую теорию для непрерывного времени. На самом деле достаточно потребовать лишь, чтобы была непрерывной при так как из этого вытекает непрерывность во всех других точках.

Белый шум. Одно из следствий свойства 5 состоит в том, что невозможно определить непрерывный по времени случайный процесс, являющийся аналогом чисто случайного процесса с дискретным временем, введенного в разд. 5.1.3. Для такого непрерывного случайного процесса потребовалось бы, чтобы при но такая корреляционная функция была бы разрывной при

Один выход из этой трудности заключается в том, чтобы определить чисто случайный процесс для непрерывного времени, или белый шум, как процесс, который состоит целиком из некоррелированных смежных импульсов. Таким образом, его ковариационная функция будет равна

где -функция Дирака. Поскольку можно рассматривать как функцию, равную нулю при и бесконечную при то мы добились того, что ковариация между соседними точками равна нулю, хотя для этого пришлось сделать бесконечной дисперсию процесса Ниже мы покажем, что бесконечная величина дисперсии получается неизбежно.