§ 2.3. Прямые следствия постулатов Эйнштейна (несколько мысленных экспериментов).

Два основных следствия постулатов Эйнштейна - «относительность длины масштабов» и «относительность промежутков времени между событиями» — могут быть получены непосредственно из самих постулатов. Чаще всего их получают из преобразований координат и времени события, совместимых с постулатами Эйнштейна (преобразований Лоренца). Но это просто удобный путь (мы им воспользуемся в § 3.2), вовсе не обязательный. Сейчас мы опишем несколько «мысленных экспериментов», с помощью которых получим нужные следствия. Мысленные эксперименты играют заметную роль в обоснованиях СТО; они представляют собой некоторые воображаемые эксперименты, которые вовсе не обязательно фактически осуществлять. По существу, это просто рассуждения, позволяющие получить определенные следствия из заданных предпосылок. Сейчас мы переходим к изложению нескольких мысленных экспериментов, результаты которых мы впоследствии получим еще раз, обсуждая следствия преобразований Лоренца.

Мы начнем с очень простого мысленного эксперимента, который качественно покажет нам относительность одновременности, если выполняется второй постулат Эйнштейна, — результат, который мы получим еще разными способами. Эксперимент ставится на эйнштейновском поезде; так называют любой поезд, идущий равномерно и прямолинейно, но (желательно!) с релятивистской скоростью. В мысленном опыте можно допустить и такое. В поезде точно определена его середина (ото делается в системе отсчета поезда и не вызывает затруднений). В середине поезда сидит наблюдатель 1, а на стапции сидит наблюдатель 2. От концов поезда, равноудаленных от наблюдателя 1, к нему посылаются световые сигналы. Мысленный эксперимент ставится так, что сигналы, идущие от концов поезда, приходят к наблюдателю 1 как раз тогда, когда он поравняется с наблюдателем 2 (в мысленных экспериментах не принято интересоваться, как такое можно практически осуществить). Для нас существенно, какие выводы сделают оба наблюдателя из одного и того же факта одновременного прихода сигналов в середину поезда.

Наблюдатель 1. Световые сигналы должны пройти до меня одинаковые расстояния. Следовательно, они посланы одновременно.

Наблюдатель 2. Световые сигналы попали ко мне, когда мимо меня проходила середина поезда, следовательно, они были посланы несколько раньше. Но «раньше» голова поезда была ближе ко мне, чем: его хвост. Значит, от хвоста сигнал нужно было послать с некоторым опережением, чтобы он пришел ко мне одновременно с сигналом, идущим от головы. Следовательно, сигнал от хвоста послан раньше, чем от головы.

Из этих простых рассуждений ясно, что два одновременных события в одной системе отсчета (в нашем примере — в системе поезда) отнюдь не одновременны в другой (в нашем примере — в системе «Земля»).

Рис. 2.1. «Мысленный эксперимент», позволяющий установить, что длина линеек, расположенных перпендикулярно направлению относительного движения координатных систем, не меняется при намерении их в любой ИСО.

Все последующие мысленные эксперименты будут уже иметь количественный характер. Мы всегда будем рассматривать две ИСО, обозначаемые , относительная скорость которых направлена по общей оси (см. рис. 1.2). Предполагается, что в начальный момент декартовы оси обеих систем совпадают.

а) Сравнение длин параллельных линеек, расположенных перпендикулярно направлению относительного движения двух ИСО. Возьмем в каждой из систем отсчета линейки одинаковой длины. В каждой из систем положим свою линейку вдоль соответствующей оси . Пусть это будут равные линейки и (рис. 2.1). В каждой из систем отсчета можно найти середины линеек, пусть это будут точки . Пусть липейки движутся так, что при совпадении осей у и середины линеек, т. е. точки А и А, совпадают. Системы в момент времени геометрически тождественны. Вопрос заключается в том, какую длину линейки измерит наблюдатель из системы К и какую длину линейки измерит наблюдатель из К. Каждый из наблюдателей должен отметить положение начала и конца идущей мимо него линейки одновременно в своей системе отсчета. Для рассматриваемого случая одновременность удобно установить следующим образом. Когда точки С и В оказываются на оси у. то из этих точек посылаются световые сигналы в точку А. В системе отрезки и равны, скорость света с одна и та же, и в точку А сигналы придут одновременно. Значит, С и В одновременно в системе К пересекут ось у. В точпости так же точки С и В одновременно в системе К пересекут ось у с точки зрения системы К. В момент времени (когда оси

у и у совпадают) произведем измерения длины линейки с точки зрения системы К и длины линейки с точки зрения К. Таким образом, на совпадающих друг с другом осях оказываются одновременно четыре точки , и, следовательно, наблюдатели в обеих системах могут сравнить свои результаты. Если бы оказалось, что или, наоборот, то это позволило бы указать различие между системами отсчета К и К, что недопустимо согласно исходному предположению о равноправии всех инерциальпых систем отсчета. Поэтому наблюдатели из К и К могут обнаружить только, что

Рис. 2.2. «Мысленный эксперимент», из которого следует, что промежуток собственного времени между двумя событиями всегда оказывается меньше, чем промежуток времени между двумя теми же самыми событиями, отмеченными по двум часам любой другой системы отсчета (опыт со «световыми часами»), а) К расчету собственного промежутка времени между моментами посылки и приема светового сигнала в начале систсмы координат О, б) К расчету промежутка времени между теми же событиями в системе отсчета К, относительно которой источиик света и зеркало движутся.

Следовательно, длины (и единицы длины) в направлении, перпендикулярном направлению относительного движения, остаются неизменными при их измерении в любой ИСО. Но ото означает, что и координаты точек но осям, перпендикулярным направлению движения, также не меняются. Следовательно, точно так же, как и при преобразованиях Галилея,

б) Сравнение хода часов в системах К и Наблюдая за ходом часов в двух системах К и К, движущихся относительно друг друга, можно сравнивать только показания одних часов в одной системе с показаниями нескольких часов в другой системе, поскольку двое часов из разных систем отсчета сходятся в одной и той же точке пространства всего лишь один раз. Как минимум, в одной из систем должна быть пара часов, которые, как предполагается, синхронизованы между собой способом, о котором было рассказано в § 2.2 этой главы. Для определенности будем сравнивать одни часы в системе К с двумя часами системы К.

Пусть в системе К в начале расположены часы и источник света (рис. 2.2а). На расстоянии z от источника света (и часов) в направлении, перпендикулярном направлению относительного движения, на осиг установлено зеркало. Световой сигпал от источника направляется на зеркало, откуда, отразившись, вернется и точку через промежуток времени . В системе и источник света и зеркало покоятся, поэтому распространение происходит вдоль одной прямой (оси z) «туда» и «обратно».

Распространение этого же сигнала рассматривается теперь в системе К, относительно которой источник и зеркало вместе с системой движутся вправо со скоростью V. Хотя посылка сигнала происходила из двух совпадающих начал отсчета О и О, отражение света от зеркала произойдет уже в какой-то точке системы К, а прием сигнала — в точке оси х. Таким образом, в системе К путь сигнала выглядит уже как две стороны равностороннего треугольника. Так как путь, проходимый светом в системе К, больше, чем путь света в системе К, можно ожидать, что промежуток времени между посылкой и приемом сигнала, отсчитанный в К, будет больше, чем Действительно, наблюдатель из системы К найдет, что два события — испускание света из точки и приход света в точку О — произойдут в двух различных точках пространства — О и В (рис. 2.26). Промежуток времени между двумя этими событиями в системе К будет измерен уже двумя часами, отстоящими друг от друга на расстоянии по паправлепию движения. Во всех системах отсчета скорость света равна с; поэтому, разделив длину боковых сторон треугольника на скорость света с, мы получим промежуток в неявной форме:

Определяя из последпего равенства получим, что

Поскольку то

где введено обозначение . В системе К оба события произошли в одном и том же месте, следовательно, измерялись одними и теми же часами. Интервал времени между событиями, отсчитанный по одним и тем же часам (что означает наступление событий в одной и той же точке пространства), называется интервалом собственного времени для этих событий. Конечно, интервал времени, начальный и конечный моменты которого отмечаются в различных точках системы отсчета и, следовательно, различными часами, уже не будет интервалом собственного времени между событиями. В рассмотренном примере интервалом собственного времени является Из формулы (2.2) видно, что промежуток времени между событиями оказывается наименьшим, если он

определяется в той системе отсчета, где эти события наступают в одной и той же точке пространства. Как мы увидим в § 3.4, можно указать условия, при которых существует такая система отсчета, в которой два заданных события наступят в одной точке.

Итак, мы получили важнейший вывод: промежуток времени между двумя событиями — величина относительная; он зависит от выбора системы отсчета. Ничего похожего в классической физике не было, промежутки времени имели абсолютный характер.

На этом примере хорошо видно также, что и отсчеты времени в разных системах должны быть различными. Когда начала отсчета О и О совпадали, то по нашему условию часы из К и К, находившиеся в этой точке, отметили моменты времени Когда световой сигнал вернулся в О, то часы из К отметили время Но в этот же самый момент в этой же самой точке находятся часы системы К (не те, которые были в О, а другие, но сипхропизоваппые с ними). Их показание будет уже Как мы уже установили, следовательно, показания часов будут разными. Это и означает, что момепты наступления событий отсчитываются по-разному в разных системах отсчета. Заметим, что этот расчет показаний часов в системе К полностью соответствует правилу сипхронизации часов но Эйнштейну, изложенному в § 2.2.

в) Сравнение длины линеек, расположенных параллельно направлению относительной скорости. Система отсчета, в которой покоится тело, является для этого тела собственной системой отсчета. Такую систему обычно принято обозначать . Допустим теперь, что в этой системе покоится липейка, лежащая на оси Обозначим длину линейки в этой системе через 10 (собственная длина линейки). Чтобы определить длину линейки в любой системе отсчета, нужно одновременно (в этой системе) определит координаты начала и конца линейки. Лишь в системе где линейка покоится, можно не думать об одновременности измерения положения копцов линейки. Именно благодаря тому, что в повседневной жизни измеряется собственная длина предметов, процесс измерения длины столь прост и осуществляется непосредственным переложением масштаба.

Если говорить об инерциальных системах отсчета, движущихся относительно Друг друга, то линейка покоится в одной единственной системе отсчета, а относительно всех других систем отсчета она движется. И непосредственное перекладывание единичного масштаба становится уже невозможным. Воспользуемся способом измерения длины, пригодным также и для измерения длины линейки, движущейся относительно системы отсчета.

Поместим левый конец линейки в пачало отсчета причем в поместим еще и источник света I. На правом конце линейки поместим зеркало перпендикулярно оси (рис. 2.3, а).

Теперь рассмотрим два события. Первое событие состоит в том, что в момент из источника I посылается световой сигнал вдоль оси в направлении зеркала Второе событие состоит в том, что световой сигнал, отразившись от зеркала приходит обратно к левому концу линейки в Оба события наблюдаются в точке с помощью одних часов.

Рис. 2.3. «Мысленный вксперимент», позволяющий обнаружить «сокращение» длины линейки, если эта длина измеряется в системе отсчета, относительно которой линейка движется равномерно и прямолинейно. Линейка располагается параллельно скорости ее движения, а) К измерению длины линейки, покоящейся в системе отсчета (собственная длина линейки) б) К измерению длины линейки в системе отсчета, относительно которой линейка движется со скоростью V.

Поэтому промежуток времени между ними — это промежуток собственного времени который, очевидно, можно записать в виде

Для наблюдателя в системе К эти же самые два события выглядят несколько иначе (рис. 2.3, б). В момент испускания сигнала источник в системе К находится в точке О, а зеркало — в положении . В момент отражения зеркало будет находиться ужо в точке а источник — в точке . В момент прибытия сигнала, отраженного от зеркала к левому концу стержня источник будет уже находиться к точке Моменты времени, соответствующие первому и второму событиям, отсчитываются в системе К в разных точках и, следовательно, разными часами. Это означает, что промежуток времени между этими событиями можно определить согласно (2.2) через При движении света вправо скорость, с которой он догоняет зеркало равна (классическое сложение скоростей в данной а при движении влево свет идет навстречу зеркалу со скоростью с . Обозначая (пока еще неизвестную) длипу линейки в системе К через I, получим, что время, за которое свет дойдет от источника до зеркала, а время, за которое он пройдет от зеркала до источника, Таким образом, промежуток времени между

посылкой и приемом светопого сшнала в К рапеп

Вспоминая, что и принимая во внимание (2.3), из последнего равенства найдем

Формула (2.4) показывает, чему будет равна длина линейки, если измерять ее длину в любой инерциальной системе отсчета. В той системе, где она покоится , ее длина равна 10, с чего мы, собственно, и начали. Формула (2.4) несимметрична относительно длин и 10, поскольку она связывает собственную длину линейки 10 (в системе с несобственной длиной в любой другой системе К.

Итак, непосредственно из постулатов Эйнштейна мы вывели относительность промежутков времени между событиями и относительность длин (линеек) масштабов. Обе эти величипы в классической механике были одинаковыми но всех ииерциальпых системах отсчета. Оба результата присущи именно теории относительности и требуют подробного обсуждения. Но мы отложим обсуждение полученных результатов до §§ 3.2, 3.3, поскольку сами эти результаты — ввиду их важности — будут получены еще несколькими способами, которые выявят некоторые новые обстоятельства, существенные для интерпретации соотношений (2.2) и (2.4).