§ 4. Инвариантность 4-дивергенции и оператора Д’Аламбера.

Докажем инвариантность четырехмерной дивергенции и оператора Д’Аламбера при преобразованиях Лорепца. Снова выпишем необходимые формулы в удобном для нас виде:

и дня компонепт вектора

Сначала докажем, что 4-градиент преобразуется, как вектор. Пусть задана функция или, сокращенно, Пусть преобразование координат задается формулами Тогда согласно правилу дифференцирования сложных функций

А это и есть закон преобразования компонент вектора (П.1.32).

Докажем теперь инвариантность 4-дивергепции. Это доказательство содержится в следующей цепи равенств:

где при выводе учтено, что согласно (П.1.15) - .

Оператор Д Аламбера, примененный к функции Ф:

мы прежде всего запишем виде

Но выражение является просто дивергенцией градиента. Действительно, пусть тогда

Но дивергенция 4-вектора является инвариантом преобразований Лоренца, и, следовательно,

В качестве функции Ф можно взять любую компоненту какого-нибудь 4-вектора Допустим, что в системе К есть уравнение, связывающее соответствующие компоненты двух 4-векторов

Тогда из (11.1.34) следует, что если справедливо (П.1.35), то енраведливо и

Но, умножая левую и правую части (П.1.36) на постоянный множитель и производя суммирование по к, мы немедлеппо получим

поскольку Сравнение (П.1.35) с (П.1.37) показывает, что в системе К мы имеем в точности то же самое уравнение, что и в К, по с заменой шштрихованных воличип на штрихованные.