§ 5.2. 4-сила и четырехмерное уравнение движения.

Поскольку мы будем часто обращаться к трехмерным классическим соотношениям, выпишем некоторые из них. В классической механике масса тела частицы считается постоянной величиной; будем обозначать ее через т. Второй закон Ньютона в классической механике записывается так:

или

где — трехмерный вектор обычной силы; величина называется классическим импульсом частицы.

Умножая левую и правую части (5.19а) на после простых преобразований мы получаем как следствие второго закона Ньютона

Справа в (5.20) стоит работа силы Р; слева по закону сохранения эпергии должно стоять изменение энергии. Таким образом энергию тела с точностью до постоянной величины можно определить как Здесь постоянная выбрана равной нулю, чтобы тело в покое никакой энергией не обладало. Следовательно, энергия связана только с движением тела; ее пазывают поэтому кинетической энергией («энергией движения»). Подчеркнем, что если бы мы считали, что в состоянии покоя тело обладает энергией то «полная» энергия движущегося тела была бы Можно интерпретировать постоянную как постоянную потенциальную, или внутреннюю, энергию. Но никаких оснований для этого в классической механике нет и можно считать просто произвольной константой. Следовательно, «полная») энергия свободного тела в классической механике в принципе могла быть любого знака (в зависимости от знака

постоянной При обычном выборе полная энергия свободного тела совпадает с кипетической.

Допустим теперь, что частица находится в потенциальном поле, т. е. силу, действующую на частицу, можно записать как , где — потенциальная энергия. Так как перепишется в виде

Отсюда следует закон сохранения полной знергии классической механики:

другими словами,

Теперь можно перейти к определению 4-импульса частицы Р. По аналогии с 3-импульсом мы вводим 4-импульс как произведение инвариантной (скалярной) массы на 4-скорость так что Поэтому

Как будет ясно из дальнейшего, инвариантную массу целесообразно назвать массой покоя. По аналогии с (5.19) можно предположить, что четырехмерное уравнение движения имеет вид

или в компонентах,

где дифференцирование, естественно, ведется по инвариантному собственному времени (иначе не получится векторное соотношение), а справа стоит 4-вектор силы , компоненты которого нам еще предстоит определить.

Еще раз напомним (ср. § 4.3), почему так важно записать уравнение движения в четырехмерной векторной форме (5.22). Дело в том, что согласно первому постулату Эйнштейна все основные законы физики должны иметь одинаковую форму во всех ИСО. С математической точки зрения это означает, что уравнения, описывающие физические законы, должны записываться в ковариантном виде по отношению к преобразованиям Лорепца. Уравнения записаны в ковариантном виде, если их левые и правые части преобразуются при преобразованиях Лоренца одинаковым образом. Но это просто означает, что левые и правые части должны

быть соответственно либо скалярными (инвариантными) величинами, либо 4-векторами, либо, наконец (об этом речь пойдет в гл. 6), тензорами одинакового ранга. Уже одно это обеспечивает сохранение записанных таким образом соотношений при переходе от одной ИСО к другой. Записав уравнение движения в векторной форме (5.22), мы обеспечили ковариантность этого уравнения при преобразованиях Лоренца, т. е. универсальность принципа относительности Эйнштейна.

Компоненты вектора нам уже известны, поскольку известпы компоненты — инвариант:

Мы обозначили компоненты 4-вектора готической буквой с индексами, т. е. или же Приравнивая 4-векторы, мы приравниваем их компоненты. Для трех первых компонент (5.24а) или трех последних (5.246) имеем

Определим теперь три первые компоненты 4-силы Очевидно, они пропорциональны компонентам 3-силы, поскольку при предельном переходе мы должны вернуться к обычному уравнению Ньютона. Если сохранить обычное определение силы и по-прежнему считать, что «сила определяет изменение импульса», следует положить

где — компоненты обычной трехмерной силы. Подставив в правую часть (5.25а) выражения для получим

а умножив каждое из этих уравнений на соответствующий единичный коордипатный вектор та и сложив полученные выражения, придем к векторной форме уравнения движения:

Сравнивая (5.26) с нерелятивистским уравнением движения (5.19), мы видим, что они отличаются только определением импульса.

За релятивистский (трехмерпый) импульс принимают величину

тогда по внешнему виду (5.26) не отличается от (5.19).

Итак, три пространствепные комиопепты уравнения (5.23) дали нам второй закон Ньютона в релятивистской форме. По у нас остался невыясненным смысл четвертого (или нулевого) соотношения. Чтобы выяснить его смысл, надо знать Но оказывается, что, задав три компоненты 4-силы, мы тем самым определили и четвертую. В этом можно убедиться следующим, образом. Дифференцируем (5.7 а, б) по

Но согласно (5.23) , причем три первых компоненты мы определили и (5.26); компоненты нам известны из (5.5). Поэтому (5.28а), например, можно записать так:

откуда сразу находится и (и аналогично

Вывод (5.296) мы предоставляем читателю.

Итак, мы нашли компоненты 4-силы которую называют силой Минковского:

Чтобы выяснить смысл четвертого соотношения (5.23) в обозначениях (5.5а) или нулевого в обозначениях (5.56), приравниваем соответствзчощие компоненты (5.24) и (5.30):

или

Здесь мы можем в точности повторить рассуждения, которые относились к соотношению (5.20). Справа в (5.31) стоит работа силы; слева должно стоять изменение энергии. Определим полную энергию свободной релятивистской частицы выражепием

в этой формуле , где — абсолютная величина трехмерной скорости тела. Подчеркнем, что из (5.31) величина энергии тела определена лишь с точностью до постоянной величины. Определение (5.32) подразумевает, что покоящаяся частица обладает энергией Такой выбор постоянной вовсе не произволен, а оправдывается предельным переходом к классической формуле сложения скоростей.

Мы отложим обсуждение релятивистского уравнения движении (5.26) и релятивистского выражения для энергии частицы (5.32) до §§ 5.3 и 5.4, а сейчас остановимся на преобразовании 4-силы и вытекающих отсюда следствиях. Выпишем закон преобразования силы (в обозначениях

Начнем с простого случая. Пусть в системе частица покоится, причем на нее действует сила (трехмерная) Тогда согласно {5.30а) . Из формул (5.33) получим

В рассматриваемом случае частица движется относительно К со скоростью системы отсчета т. е. со скоростью —V. Следовательно, , и мы получаем формулы преобразования компонент силы и работы, совершаемой силой:

Из первых трех равенств (5.34) видно, что компоненты силы, параллельные скорости относительного движения, остаются неизменными. Компопенты силы, перпендикулярные направлению относительного движения, меняются. Нетрудпо установить смысл последнего соотношения (5.34). Если в частица покоилась, то в К она движется со скоростью —V. Работу совершает только компонента силы (остальные составляющие силы перпендикулярны движению). Мощность, выделяемая за счет работы силы в системе как раз и равна что мы и получили.

Из формул (5.34) видно, что в нерелятивистском случае, когда В 1, трехмерная сила совсем не меняется при переходе от одной ИСО к другой. Это обстоятельство вполне соответствует нашим интуитивным представлениям о неизменности сил в любой системе

отсчета. Одпако при изложении СТО и в особенности при выводе отдельных соотношений СТО из рассмотрения преобразования сил следует в первую очередь подчеркивать изменение компонент силы при переходе от одной ИСО к другой.

В общем случае, используя (5.30а), получим из (5.33)

Переписав последние равенства в виде

и учитывая (5.10). окончательно запишем

Из формул преобразования (5.36) для 4-силы видно, что если в какой-то ИСО трехмерной силы пет, то опа не может появиться ни в какой другой ИСО. Таким образом, при переходе от одной ИСО к другой силы преобразуются, но по появляются и не исчезают.

Отсюда сразу вытекает справедливость закона пнерции во всех ИСО. Если в одной ИСО на тело не действует сила и оно двшкется по инерции то то же самое будет и в любой другой ИСО (см. (5.27) и (5.32)).