§ 5.8. Законы сохранения релятивистской механики.

До сих пор говорилось о законах сохранения энергии и импульса для материальной частицы, теперь следует остановиться на законах сохранения для системы материальных частиц. Вопрос о законах сохранения имеет два аспекта. Первый состоит в том, что нужно выяснить, как выглядят релятивистские законы сохранения в рамках заданной ИСО. Второй аспект заключается в выяснении поведения сохраняющихся величин при переходе от одной инерциальной системы к другой. Оба эти вопроса решаются очевидным образом для системы невзаимодействующих частиц и весьма сложны для частиц, взаимодействующих между собой.

Начнем с системы невзаимодействующих частиц. Уравнения движения и изменения энергии, относящиеся к частице, имеют вид (см. (5.27) и (5.31))

где через обозначена сила, действующая на частицу (суммирования по к нет!).

Если рассматривается одна частица, не взаимодействующая ни с какими другими частицами, и из (5.78) и (5.79) непосредственно вытекают закон сохранения импульса и закон сохранения энергии . В сущности, это обстоятельство и отражается в том, что для отдельпой частицы Для отдельной частицы, которая представляет собой замкнутую систему, сохраняется нотому, что сохраняются и отдельно. Отметим попутно еще раз, что отдельной частицы в совокупности образуют 4-вектор.

Тогда речь идет о системе невзаимодействующих материальных частиц, сохранение суммарного импульса системы и суммарной энергии системы 2 очевидно, поскольку сохраняется каждое слагаемое в отдельности.

Законы преобразования суммарного импульса и суммарной энергии

при переходе от одной ИСО к другой очевидны: сумма компонент векторов преобразуется как компонента вектора.

Вопрос о законах сохранения в системе взаимодействующих частиц гораздо сложнее. В обычной классической механике взаимодействие частиц в случае консервативных сил можпо было описать потенциальной функцией системы причем определяло положение частицы в момент , а положение всех частиц рассматривалось в одип и тот же момент времени. Возможность выбора одного единственного момента времени в конечном счете обусловлена тем, что в классической мехапике скорость распространения взаимодействий предполагается бесконечной.

Из-за того, что скорость распространения взаимодействий в релятивистской механике конечна, для вычисления силы и данной точке нужно зпать положения всех частиц в некоторый предыдущий момент времепи. Отсюда ясно, что вид функции V в релятивистском случае отнюдь не прост.

Если записать выражение для энергии системы тел в виде

и для суммарного импульса

то можно утверждать следующее. Величины в отличие от того, что мы имели для отдельной частицы, не образуют 4-вектора. Кроме того, эти величины не являются постоянными. Невыполнение равенства ясно уже из того, что в классической механике сохраняется полная энергия системы, в которую входит и потенциальная энергия системы. В (5.81) потенциальная энергия не входит, и ввести ее строгим образом довольно сложно. С конечной скоростью передачи взаимодействий связапо и то, что выражение (5.82) не сохраняется во времени. В конечпом итоге это обстоятельство разъясняет и тот парадоксальный факт, что величины представляющие собой сумму компонент 4-векторов, не являются компонентами 4-вектора. Действительно, в любой системе отсчета, где составляются суммы (5.81) и (5.82), слагаемые берутся одновременно в смысле одновременности данной системы отсчета. При переходе к другой инерциальной системе можно найти значения импульсов и энергий отдельных частиц по правилам преобразования 4-векторов и сложить их. Однако в повой системе пересчитанные события окажутся уже не одновременными. Чтобы найти в новой системе, нужно привести эти суммы к одновременности в повой системе отсчета. Имепно этот пересчет одновременности и лишает величины Р и свойств компонент 4-вектора.

При наличии взаимодействия релятивистские системы обладают десятью интегралами двшкенин: интегралом энергии, импульса, движения центра инерции, момента импульса и др. Приближенный вид этих интегралов приведен, например, в книге 116], § 27.

Что касается поведения интегралов движения при переходе от одной инерциальной системы к другой, то в некотором приближении где сохраняются еще члены энергия и импульс составляют 4-вектор, а интегралы движения центра инерции и момента импульса — антисимметричный 4-тензор. Отсюда ясно, что если эти интегралы сохраняются в одной системе отсчета, то они будут постоянны и во всякой другой системе отсчета.

Есть один случай, в котором законы сохранепия импульса и энергии можно записать в простом виде:

Эти формулы пригодны в том случае, когда рассматриваются быстрые, но слабо (или кратковременно) взаимодействующие частицы. Формулы (5.83) и (5.84) несправедливы во время взаимодействия, но вполне пригодны до начала и после окончания взаимодействия. Их, в частности, можно применить к идеальному релятивистскому газу, а также к «соударениям микрочастиц».

Приведем пример использования законов сохранения в релятивистской форме для рассмотрения «соударепия» частиц. Пусть на покоящуюся частицу с массой налетает частица с массой причем в результате «соударения» («реакции») порождаются частицы с суммарной массой М. Реакции между частицами управляются не только законами сохранения импульса и энергии, но также и другими специфическими законами сохранения. Их мы учитывать не будем. Мы будем просто считать (скажем, используя экспериментальные данные), что реакция может идти. Но уже с помощью законов сохранения импульса и энергии можно выяснить существенный вопрос: какова минимальная энергия налетающей частицы, достаточная для осуществления интересующей нас реакции?

«До» реакции и «после» нее законы сохранения импульса и энергии выполнены. На четырехмерном языке это означает, что сохраняется 4-вектор энергии-импульса системы частиц. Картину «до» соударения рассматриваем в лабораторной системе отсчета. До соударения частицы не взаимодействуют, и поэтому энергия системы частиц равна а импульс равен где — полная энергия налетающей частицы, а — ее импульс.

Картину после соударения удобно рассматривать в системе центра инерции. По закону сохранения импульса эта система отсчета движется равномерно и прямолинейно относительно лабораторной и поэтому также является инерциальной (если лабораторная система инерциальная). Минимальная энергия, требуемая для осуществления реакции, будет в том случае, когда в системе центра инерции все частицы, возникшие после реакции, покоятся (в противном случае их полная энергия будет больше). Следовательно (если ищется минимальная эпергия), после соударения энергия системы возникших частиц равна а импульс равен нулю (в системе центра инерции). При переходе от одной ИСО к другой квадрат 4-вектора энергии-импульса является инвариантом.

Выпишем 4-векторы энергии-имнульса системы частиц до и после соударения: Но абсолютные величины этих векторов равны: или — Используя соотношения будем иметь

Отсюда непосредственно следует минимальное («пороговое») значение для кинетической энергии налетающей частицы:

Полученная формула может быть использована при рассмотрении весьма разнообразных реакций. Приведем три примера.

Рождение -мезона при соударении двух нуклонов: Фоторождение -мезона на нуклоне: Рождение протоп-антипротонной пары при бомбардировке протонами мишени, содержащей протоны (водород):

При интерпретации этих реакций следует исходить из того, что всегда соблюдается закон сохранения энергии. Поэтому в этих реакциях кинетическая энергия исходных частиц переходит (частично) в энергию покоя порождаемых частиц. Говорить же о «рождении» массы из кинетической энергии, безусловно, неверно.