§ 1.3. Преобразования Галилея.

Переход от одной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой, делали задолго до появления теории относительности. Первым, кто пользовался таким приемом, был, по-видимому, Гюйгенс, рассматривавший таким образом задачу о соударении шаров. Будем для краткости обозначать систему отсчета буквой К, а если систем несколько, то введем индексы вверху . Мы уже говорили о том, что «элементом» любого физического явления можно считать событие. Естественно начать с пересчета величин, характеризующих событие, при переходе от одной системы отсчета к другой. Всюду впредь под «переходом от одной системы отсчета к другой» подразумевается рассмотрение систем отсчета, находящихся в относительном движении. Изменение начала отсчета и поворот координатных осей за «переход» мы считать не будем.

В произвольной системе отсчета К событие характеризуется четырьмя числами: х, у, z, t — тремя координатами точки, где событие наступило, и моментом времени, когда оно наступило. Нам нужно зпать, как выглядит та же самая четверка чисел х, у, z, t в любой другой системе отсчета К, которая движете» относительно системы К.

Уже с самого начала мы вынуждены ограничить свою задачу и рассматривать только такие системы отсчета, которые движутся относительно друг друга прямолинейно и равномерно, без вращения вокруг начала. Другими словами, ни одна из рассматриваемых систем отсчета не испытывает ускорения относительно другой. Несколько позже выяснится, что речь идет о совокупности так называемых инерциальных систем отсчета, по выделение таких систем отсчета можно будет произвести лишь на основании законов Ньютона; поэтому мы отложим вопрос о том, как определяются и находятся такие системы, до § 1.5. А пока мы просто геометрически рассмотрим две системы движущиеся относительно друг друга равномерно и прямолинейно (поступательпо). Допустим, что система отсчета К движется относительно К со скоростью V. Пусть в данный момент времени радиус-вектор точкп М в системе К равен . Тогда из рис. 1.1 видно, что где — радиус-вектор той же точки в системе радиус-вектор начала системы координат К, отсчитанный от начала К.

Рис. 1.1. Две координатные системы К и с произвольно направленными осями х, у, z и х, у, z. Система К движется относительно К со скоростью V. радиус-вектор точки М, равный в системе К вектору в системе К равен По правилу сложении векторов , где — радиус-вектор начала отсчета О.

Это соотношение справедливо для любого момента времени, но К меняется по известному закону , где — радиус-вектор, определяющий положение начала О в момент времени Если принять, что в момент оба начала совпадают, то и мы получаем закон преобразования координат в векторной форме:

где компоненты вектора V заданы в системе К. Однако мы можем воспользоваться изотропностью пространства и повернуть каждую

из систем вокруг своего начала любым способом. Удобно поступить так. Вращением систем отсчета направим оси по направлению относительной скорости систем К и Затем вращением вокруг общей оси направим оси параллельно друг другу. Таким образом, ничего не потеряв в физической общности, мы приходим к взаимному расположению координатных систем, изображенному на рис. 1.2.

Теперь уже компоненты скорости .

Начало системы К скользит по общей оси со скоростью V, а в начальный момент времени оба начала совпадали. Из векторпой формулы (1.1) или непосредственно из рис. 1.2 видно, что связь между координатами точки М (где, как мы считаем, наступило событие) в системах К и К определяется формулами

Рис. 1.2. Две системы отсчета К и К с параллельными осями, движущиеся относительно друг друга со скоростью скорость движения К относительно К). В классической физике координаты «события» пересчитываются от системы к к системе отсчета К по формулам «преобразований Галилея):

Теперь, чтобы полностью определить, как выглядят координаты события в системе К, нужно знать, какое время наступления этого события будет отсчитано по часам системы К (теперь уже у нас двое часов — одни в системе К, другие в системе Но ведь мы пользуемся в обеих системах бесконечно быстрыми сигналами, а для таких сигналов конечная относительная скорость систем несущественна: бесконечная скорость в обеих системах бесконечна. Следовательно, по часам обеих систем время наступления события будет одно и то же, т. е. . К такому же выводу толкает нас и «здравый смысл», потому что в повседпевпой жизни мы не обнаруживаем влияния движения на ход времени. Не забудем, однако, что бесконечно быстрые сигналы — это всего лить условность и что, хотя здравый смысл не обманывает нас в повседневной жизни, мы должны быть готовы к тому, что там, где скажется конечная скорость сигналов, может оказаться, что

Но в рамках классической механики, как мы теперь установили, формулы преобразования от «координат» события,

определенных в системе к координатам события в системе выглядят так:

Эти формулы годятся, естественно, только для взаимного расположения систем отсчета, изображенного на рис. 1.2. Преобразования «координат» события системы К в систему К (1.2) называются преобразованиями Галилея. Мы хотели бы сразу обратить внимание читателей на то, что время оказалось четвертой координатой события и, говоря о координатах события, мы подразумеваем четверку чисел Это делается не только для краткости речи. В специальной теории относительности открываются глубокие основания для такой терминологии (см. гл. 4).

Мы уже подчеркивали равноправие систем, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно. Системы К и К, которыми мы будем впредь пользоваться, отличаются лишь тем, что относительная скорость относительно К равна V, а системы К относительно К равна — V. Следовательно, чтобы получить формулы обратного перехода, достаточно поменять местами штрихованные и нештрихованные величины, изменив при этом знак у V. Имеем

Конечно, эти же самые формулы получатся и прямым алгебраическим путем.

Отметим одно из следствий преобразований Галилея. Допустим, что в системе К наступили два события на оси х — одно точке в момент времени другое в точке в момегтт Можно ли подобрать систему К, в которой оба события наступили бы в одной и той же точке пространства? Найдем координаты этих событий в системе составим разность Если потребовать мы получим уравнение для определения скорости системы К относительно Смысл результата очень прост: система К за время перенесет точку в то место, где наступило второе событие, к нужному моменту времени. Мы видим, что всегда можно подобрать систему К, удовлетворяющую поставленному условию. Но это возможна

только потому, что в классической механике допустимы любые значения У. В теории относительности, где скорость движения системы отсчета, как и любого материального тела, ограничена, пайти нужную систему можно отнюдь не всегда.

Прежде чем переходить к принципу относительности Галилея, условимся об одном термине. Для удобства речи часто говорят о различных «наблюдателях» или «наблюдателях в разных системах отсчета». Эта терминология вызвала в свое время ожесточенные споры, потому что многим казалось, что она подразумевала субъективный подход к физическим измерениям. Но присутствие «наблюдателя» при выполнении измерений вовсе не обязательно: их можно производить приборами и без участия человека. Фактически так и происходит, например, на космических кораблях, даже тогда, когда на их борту есть люди. Под «наблюдателем из системы фактически всегда подразумевается совокупность приборов, покоящихся в этой системе. То, что приборы, установленные в разных системах отсчета, дадут различные результаты при измерепии величин, относящихся к одпому и тому же явлению, удивления вызвать не может, поскольку относительное движение — фундаментальный физический факт. Объективность законов природы находит свое отражение в том, что, зная результаты наблюдения какого-то явления в одной системе отсчета, можно пайти результаты наблюдения этого явления в любой другой системе отсчета. Можно надеяться, что после этих замечаний появление наблюдателя на страницах этой книги не вызовет возражений.