Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 8. Прямолинейные косоугольные системы координат.До сих пор мы пользовались ортогональной прямолинейной системой координат, но уже переход к прямолинейной косоугольной системе позволяет проиллюстрировать особенности, присущие произвольным координатным системам, о которых шла речь в книге.
Рис. П.3. Иллюстрация к определению ко- и контраивариантных координат в прямолинейной косоугольной системе координат на плоскости. Выберем, как и раньше, в качестве координатпых линий семейство прямых, но уже не ортогональных друг другу. Координатные оси обозначим Произвольный вектор А можно разложить но неколлинеарным векторам
Величины А являются составляющими вектора Л, получаемыми параллельным проектированием этого вектора на координатные оси; они, но определению, называются контраеариантными компонентами вектора А. Величины
являются ортогональными проекциям» вектора А на координатные оси и называются ковириаитлыми компонентами вектора
Этим равенством определяется переход от коптраварпантных компонент вектора к ковариантпым. Определим, далее, величины
Составим теперь выражение
Последним равенством определяется переход от ковариаптных компонент к контравариантным. Мы получили, таким образом, две важные формулы перехода:
Определитель, образованный из величии обозначают через
С помощью формулы (стр. 363)
мы сразу же находим, что
где Нетрудно обнаружить, что для ортогональных прямолинейных координат, когда По определению скалярным произведением двух векторов А и И называется величина
Скалярное произведение вектора на самого себя определяет квадрат модуля вектора, или норму вектора:
Таким образом, порма является квадратом длины вектора. Если норма вектора равна еднппце, то вектор называется нормированным или единичным. Если порма любого ненулевого вектора положительна, пространство называется собственно евклидовым. В частности, квадрат бесконсчпо малого вектора
Изменим систему базисных осей и перейдем к новым базисным векторам
где
Из
Из
где определено согласно (II.1.63). Радиус-вектор
но, принимая во внимание
Отсюда следуют формулы прямого и обратного преобразовании контравариантных координат вектора
Общее оиределепие вектора: вектором А называется величина, ковариантные компопонтьг которой при изменении системы отсчета преобразуются так же, как базисные векторы
и, обратно,
С другой стороны, в точности так же, как для вектора
откуда
и, следовательно,
Мы видим, что формулы преобразования ко- и коптравариантных компонент вектора различны. Выпишем закон преобразования величины
Это — по определению — закоп преобразования коварнантного тензора. Инвариантом называется величина, сохраняющая свое значение при изменении базисных векторов
Нетрудно проверить также инвариантность оператора Когда по тем или иным соображениям вводятся векторы, то в качестве
отсюда ясно, что дифференциалы контравариантных координат вектора преобразуются, как контравариантные векторы. Однако если рассмотреть скалярную функцию коптравариантных компонент Действительно,
а это как раз формула преобразования компопепт ковариантного вектора (II.1.77). Еще раз подчеркнем, что все полученные формулы годятся для пространства любого числа измерений. Переходя к 4-пространству-времени Минковского, напомним, что следствием двух постулатов Эппттеппа является инпариаптноеть квадратичной формы
при переходе от одной ИСО к другой, т. е. при преобразованиях Лоренца. Выражение 4-пространстве. Но квадрат расстояния (II.1.86) вовсе не обязательно является положительно определенным. И связи с этим евклидоно пространство, характеризуемое формой Если воспользоваться действительными координатами
В любом случае
Для того чтобы
Все эти условия можно записать в единой формуле
где
Теперь
Скалярное произведение двух векторов и норма вектора определяются соответственно выражениями
Из (П.1.95) видно, что у произвольного ненулевого действительного вектора ггорма не обязательно положительна, она может быть как нулевой, так и отрицательной. Это еще раз напоминает нам о том, что четырехмерпое пространство специальной теории относительности является псевдоевклидовым.
|
1 |
Оглавление
|