§ 8. Прямолинейные косоугольные системы координат.

До сих пор мы пользовались ортогональной прямолинейной системой координат, но уже переход к прямолинейной косоугольной системе позволяет проиллюстрировать особенности, присущие произвольным координатным системам, о которых шла речь в книге.

Рис. П.3. Иллюстрация к определению ко- и контраивариантных координат в прямолинейной косоугольной системе координат на плоскости.

Выберем, как и раньше, в качестве координатпых линий семейство прямых, но уже не ортогональных друг другу. Координатные оси обозначим (рис. П.3, а). На каждой из этих осей отложим единичный базисный вектор

Произвольный вектор А можно разложить но неколлинеарным векторам

Величины А являются составляющими вектора Л, получаемыми параллельным проектированием этого вектора на координатные оси; они, но определению, называются контраеариантными компонентами вектора А.

Величины

являются ортогональными проекциям» вектора А на координатные оси и называются ковириаитлыми компонентами вектора . Очевидно, эти определения могут быть сохранены для люоого числа измерении. Если ввести обозначение для скалярного произведения базисных векторов

в случае прямолипенгшх координатных осей Ко- и контравариантные координаты относятся к одному и тому же вектору и связаны между собой:

Этим равенством определяется переход от коптраварпантных компонент вектора к ковариантпым.

Определим, далее, величины условием:

Составим теперь выражение

Последним равенством определяется переход от ковариаптных компонент к контравариантным. Мы получили, таким образом, две важные формулы перехода:

Определитель, образованный из величии обозначают через (см. § 6 этого Приложения):

С помощью формулы (стр. 363)

мы сразу же находим, что

где — адъюнкта элемента

Нетрудно обнаружить, что для ортогональных прямолинейных координат, когда , т. е. никакого различия между ко- и контравариаптными координатами нет. Этим и объясняется, что при использовании ортогональной декартовой системы координат говорят просто о координатах векторов.

По определению скалярным произведением двух векторов А и И называется величина

Скалярное произведение вектора на самого себя определяет квадрат модуля вектора, или норму вектора:

Таким образом, порма является квадратом длины вектора. Если норма вектора равна еднппце, то вектор называется нормированным или единичным. Если порма любого ненулевого вектора положительна, пространство называется собственно евклидовым.

В частности, квадрат бесконсчпо малого вектора с компонентами соединяющего две бсскопечпо близкие точки пространства, равен

Изменим систему базисных осей и перейдем к новым базисным векторам направленным вдоль прямолппейпых осей . Можно разложить любой новый вектор по старым базиспым векторам:

где — постоянные коэффициенты, зависящие от конкретного преобразования косоугольных осей. Для независимости необходимо, чтобы . Можно, разумеется, разложить любой старый вектор по новым:

Из следует:

Из видно, что коэффициенты и связаны соотношениями

где определено согласно (II.1.63).

Радиус-вектор проведсппыйиа начала координатвточку М (рис. П.3, б), может быть с равным правом записан двумя способами:

но, принимая во внимание можно переписать опять-таки в двух формах:

Отсюда следуют формулы прямого и обратного преобразовании контравариантных координат вектора

Общее оиределепие вектора: вектором А называется величина, ковариантные компопонтьг которой при изменении системы отсчета преобразуются так же, как базисные векторы . Контравариантные компоненты векторов преобразуются, как коптравариантпые координаты Найдем формулы преобразования компонепт вектора А. Для ковариантных компонент

и, обратно,

С другой стороны, в точности так же, как для вектора запишем

откуда

и, следовательно,

Мы видим, что формулы преобразования ко- и коптравариантных компонент вектора различны.

Выпишем закон преобразования величины

Это — по определению — закоп преобразования коварнантного тензора. Инвариантом называется величина, сохраняющая свое значение при изменении базисных векторов . В рассматриваемом случае косоугольпых прямолинейных осей а и а — постоянные величины. Докажем ппвариантность расстояния между точками:

Нетрудно проверить также инвариантность оператора

Когда по тем или иным соображениям вводятся векторы, то в качестве компонент могут оказаться как ко- так и контравариантные комионенты. Приведем два важных примера. Из следует, что

отсюда ясно, что дифференциалы контравариантных координат вектора преобразуются, как контравариантные векторы. Однако если рассмотреть скалярную функцию коптравариантных компонент то, рассмотрев компоненты вектора мы сразу же убеждаемся, что имеем дело с ковариантными компонентами.

Действительно, — подразумевается, что преобразование координат известно; как всегда, выпишем формулы с «удобными» индексами. Так, согласно откуда По формулам дифференцирования сложных функций

а это как раз формула преобразования компопепт ковариантного вектора (II.1.77). Еще раз подчеркнем, что все полученные формулы годятся для пространства любого числа измерений.

Переходя к 4-пространству-времени Минковского, напомним, что следствием двух постулатов Эппттеппа является инпариаптноеть квадратичной формы

при переходе от одной ИСО к другой, т. е. при преобразованиях Лоренца. Выражение определяет квадрат элементарного расстояния» в

4-пространстве. Но квадрат расстояния (II.1.86) вовсе не обязательно является положительно определенным. И связи с этим евклидоно пространство, характеризуемое формой называется несобственно евклидовым или псевдоевклидоеым пространством. Для того чтобы пользоваться формализмом собственно евклидова пространства часто прибегают к приему, который использовался и в этой книге, заключающемуся во введении мнимой координаты (ср. гл. 3). Этот прием упрощает изложение, но невольно навевает мысли о мнимости и самих релятивистских законов, которые, разумеется, не имеют ни малейшего отношения к мнимой единице, вводимой исключительно ради упрощения выкладок.

Если воспользоваться действительными координатами то запишется как

В любом случае

Для того чтобы из совпадало с необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

Все эти условия можно записать в единой формуле

где

Теперь определяет метрический тензор псевдоевклидова пространства. Отсюда сразу же следует связь между ко- и контраварнантными компонентами вектора в силу

Скалярное произведение двух векторов и норма вектора определяются соответственно выражениями

Из (П.1.95) видно, что у произвольного ненулевого действительного вектора ггорма не обязательно положительна, она может быть как нулевой, так и отрицательной. Это еще раз напоминает нам о том, что четырехмерпое пространство специальной теории относительности является псевдоевклидовым.