§ 5.5. 4-вектор энергии-импульса.

Четвертая (или нулевая) компонента 4-импульса свободной частицы имеет непосредственное отношение к энергии частицы. Это видно из простого преобразования

Поэтому 4-вектор Р называют 4-вектором энергии-импульса частицы. Из (5.7) и из того, что сразу же следует, что

Закон преобразования компонент 4-вектора Р выписан в (5.42) и (5.43). Нам остается переписать (5.22) в окончательной форме:

где Рассмотрим частицу в системе отсчета, в которой ее релятивистский 3-импульс равен нулю. Систему, в которой частица покоится можно назвать собственной системой отсчета. Пусть энергия частицы в этой системе равна Тогда в системе К, согласно (5.43),

Из формул (5.49) видно, что перенос энергии частицей связан с возникновением импульса. Действительно, в собственной системе отсчета частицы, т. е. в системе, где она покоилась, частица обладала энергией но эта энергия не перемещалась в пространстве. Импульс частицы (носителя эпергии) был равен нулю. В системе К частица уже движется; ее скорость равна —V. Это озпачает, что с этой скоростью «течет» и энергия. Формула (5.49) для показывает, что с течением энергии связан импульс Этот импульс совпадает с релятивистским трехмерным импульсом, потому что, согласно (5.32), скорость частицы —V, а Г в этом случае совпадает с у.

Итак, агенту, переносящему энергию, — в данном случае частице — необходимо приписать импульс. Мы получили этот результат для частицы, однако он имеет общее значение; мы вновь столкнемся с ним при рассмотрении электромагнитного поля (гл. 6).

Мы хотели бы подчеркнуть здесь то обстоятельство, что сам факт объединепия некоторых величин в 4-вектор указывает на тесную связь между пими. Величины, являющиеся компонентами 4-вектора (это обычно 3-вектор и скаляр), образуют в известном смысле замкнутую комбинацию: чтобы вычислить энергию и импульс частицы в нужно знать энергию и импульс в К (см. формулу (5.43)). Четвертая (или пулевая) компоненты 4-вектора энергии-импульса в нуль обратиться не может. Если в какой-то системе энергия и импульс частицы обращаются в нуль, они равны нулю и в любой другой системе отсчета. В этом существент ное отличие релятивистских соотношений от классических.

В классической механике у покоящейся частицы и энергия и импульс равны нулю.

Квадрат 4-вектора является важным инвариантом. Выпишем его:

(мы использовали соотношения (5.47) и (5.48)). Разумеется, с точностью до знака он одинаков в обоих случаях. Очень важно, что мы обнаружили инвариантную связь между релятивистским импульсом и релятивистской энергией частицы; при этом существенно, что инвариантное соотношение (5.50) определяет инвариантную массу — массу покоя частицы.

Из (5.50) можно выразить энергию частицы через ее импульс:

Энергия частицы, выраженная через ее импульс, называется функцией Гамильтона 33 частицы. Таким образом, (5.51) — ото функция Гамильтона частицы. Известно, что производная от функции Гамильтона по компонентам импульса дает компоненты скорости частицы:

или Можно вывести формулу (5.52), дифферепцируя (5.50):

откуда

Но поскольку , то для частицы

и мы снова возвращаемся к (5.52).

В дальнейшем нам понадобится формула, легко выводимая из (5.52): умножая левую и цравую части (5.52) на мы получим Для тех, кто не очень любит обращение с градиентами, подчеркнем, что этот же результат сразу вытекает, как в классическом, так и релятивистском случае, из (5.37а) и (5.376), где, разумеется, импульс определен по-разному. Умножая левую и правую части (5.37а) и (5.37б) на мы получаем справа , а слева Итак, и в классике и в релятивистской

механике мы имеем одну и ту же формулу

но определение энергии и импульса будет различным.

В простейшем случае одномерного движения определяется согласно (5.51). В плоскости перемепных спорость определяется через тангенс угла наклона крипой в данной точке. При из (5.51) следует

Частицы с конечной массой покоя, для которых справедливо это соотпошение, называются улътрарелятивистскими. Связь (5.51) годится как для ультрарелятивистских частиц, так и для фотонов. В § 7.6 мы увидим, что световые кванты (фотоны) можно трактовать как релятивистские частицы. Но уже здесь стоит подчеркнуть, что это совсем особые частицы. В любой ИСО эти частицы обладают конечным импульсом и конечной эпергией. В любой ИСО их скорость в вакууме одна и та же. Они не могут быть получены ни из какой частицы, обладающей конечной массой, за счет ее ускорения. Наконец, из (5.50) мы обнаружим, что масса покоя фотона равна нулю.

Остановимся еще на нескольких соотношениях для частицы, находящейся в потенциальном внешнем поле. Поскольку предполагается, что поле распространяется с конечной скоростью, то основной принцип СТО — конечная скорость передачи сигнала — соблюден. Что касается силы, действующей на частицу, она определяется через значение потенциальной функции в точке, где находится частица (поле стационарно).

Если частица находится в потенциальном иоле, то и вместо (5.31) мы получим откуда следует закон сохранения полной энергии релятивистской частицы в потеициальпом поле (полной в том смысле, что сохраняется сумма релятивистской энергии частицы ее потенциальной энергии)

В релятивистской механике кинетическая энергия равна ; изменив значение константы в правой части на можно переписать закон сохранения энергии в виде

Когда частица находится в консервативном поле, то несмотря на то, что при движении меняются как ее скорость, так и потенциальная энергия, величина сохраняется (см. (5.57)) в том смысле, что она не зависит от времени в данной ИСО. Можно назвать величину полной энергией частицы в

консервативпом поле. Конечно, эта величина сохраняется в любой ИСО, но меняет свое (постоянное) значение на другое при переходе от одной ИСО к другой. Для частицы в консервативном поле определение 4-импульса как остается в силе, но вместо (5.48) придется паписать поскольку как это видно из (5.21) и (5.57), а из вместо (5.51) получится

Формула (5.59) — это функция Гамильтона для частицы в консервативном поле. Как и для свободной частицы, 3-релятивистский импульс можно выразить через энергию, скорость и потенциальную энергию:

Преобразование четвертой компоненты вектора энергии-импульса частицы в потенциальном поле согласно (5.42) показывает (удобно при этом использовать (5.10)), что в системе К полная энергия , как это и должно быть.