§ 6.4. Преобразование компонент электрического и магнитного полей.

Особое удобство четырехмерного подхода состоит в том, что, коль скоро определена математическая природа той или иной физической величины (скаляр, 4-вектор, 4-тензор), вопрос о ее преобразовании при переходе от одной ИСО к другой решается автоматически. В механике мы имели дело с 4-векторами. Компоненты полей как мы установили, являются компонентами тензоров (6.29 а, б), (6.31) и (6.33) соответственно.

Следовательно, компоненты трехмерных векторов преобразуются но правилу преобразования компонент тензора. Например, для компонент в 4-комплексном пространстве формулы преобразования запишутся так:

где — компоненты матрицы преобразования Лоренца (2.41а), а компоненты определяются согласно (6.29а). Преобразуя компоненты матрицы (6.296), нужно взять матрицу преобразований Лоренца в форме (2.416).

Здесь следует сделать чисто методическое замечание. Часто в лекционном изложении избегают введения тензоров, чтобы не усложнять курс. Действительно, объяснить смысл введения тензоров и их особенности, скажем, за полчаса дело мудреное. Однако электромагнитное поле — тензор, и от этого уйти никуда нельзя. Возникает старый вопрос: «не назвать ли нам кошку кошкой» сразу? Конечно, дело не в названии, а в формулах преобразования (6.34). Эти формулы можно и, вероятно, нужно получить максимально простым способом. Их легко получить, например, так: из (6.28) ясно, что величины представляют собой линейные комбинации производных компонент 4-вектора по 4-координатам; преобразование производных компонент вектора при преобразовании координат следует из элементарного анализа (см. Приложение Т, § 3).

Для запоминания правила преобразования компонент тензоров полезно помнить, что они преобразуются как произведение соответствующих компонент векторов. Так или иначе, мы получаем формулы (6.34). И здесь все же самое время назвать тензор тензором, раскрыв, разумеется, смысл компонент тензора несколько односторонне — как производных компонент векторов по координатам.

Покажем на примере, как находятся формулы преобразования полей. Найдем формулу преобразования для Формула преобразования согласно (6.34) имеет вид

Напомним, что здесь подразумевается суммирование по двум независимым парам индексов и I, каждый из которых изменяется от 1 до 4. Таким образом, в сумму (6.35) входит шестнадцать членов, каждый из которых содержит произведение двух и одной из компонент Очень рекомендуем читателю, который впервые сталкивается с такими формулами, выписать (один раз в жизни!) все шестнадцать членов. Удобнее всего это делать так. Сначала разворачиваем сумму, скажем, по придавая значения 1, 2, 3, 4. Индекс I по-прежнему означает суммирование. Мы получим сумму из четырех членов, в которой уже индекса не будет. Затем в каждом из этих четырех членов произведем суммирование по I. В итоге все шестнадцать членов будут выписаны. Затем в эти члены нужно уже подставлять из матрицы Лоренца (см. (2.41а)) и компоненты из (6.29 а). Вы сразу обнаружите, что большинство членов суммы (6.35) равно пулю. Поэтому суммирование в (6.35) фактически можно производить значительно проще. Действительно, при изменяющемся от 1 до ото просто элементы первой строки матрицы Лоренца (см. (2.41 а)), а при это элементы второй строки матрицы Лоренца. Но в первой строке матрицы отличны от нуля только элементы Следовательно, нужно брать для лишь значения 1 и 4. Во второй строке отличен от нуля только элемент

— 1. Следовательно, для I нужно взять только значение и вместо (6.35) можно написать

Сопоставляя второе и последнее равенства в последней цепи равенств и сокращая на с, получим

Аналогично получаются формулы преобразования остальных компонент. Запишем их вместе:

Выпишем для дальнейшего также формулы преобразования для D и Н:

В точности те же самые результаты (6.36) и (6.37) получатся, конечно, и в действительном 4-пространстве. Мы не будем больше упоминать о нем, поскольку, во-первых, все равно впредь мы будем пользоваться окончательными формулами, а они одинаковы; во-вторых, существенное различие содержалось лишь при переходе к и (6.27). Далее все уже просто.

Из формул (6.36) видно, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета К к другой К все векторы поля меняют свою величину и направление. Неизменными остаются только «продольные компоненты», т. е. компоненты по направлению относительного движения (вдоль оси

Разобьем электрическое и магнитное поля Е и В на составляющие, параллельные и перпендикулярные направлению движения (единичные векторы i, j, k направлены по осям х, у, z соответственно), например:

Заметив, что вектор скорости V координатной системы К имеет компоненты (V, 0, 0), получим

Тогда формулы (6.36) можно переписать в векторной форме:

Здесь, может быть, уместно напомнить, что все выражения вида равны нулю, а выражения вида совпадают с самим векторным произведением для любого А. Формулы обратного преобразования получаются заменой штрихованных величин на лештрихованные и наоборот, а также изменением знака у V:

Для нерелятивистских скоростей и мы получаем из

Здесь введены обозначения: Формулы обратного преобразования от К к К получаются, как всегда, заменой штрихованных величин на нештрихованные и наоборот с одновременным изменением знака у V:

В заключение выпишем формулы преобразования для и II. Можно не проделывать выкладки, а вспомнить, что мы получили формулы преобразования для компонент тензора — а теперь нас интересуют такие же формулы для тензора Для соответствующих компонент получим вместо

а для нерелятинистских скоростей, когда вместо (6.41) получим

Допустим, что в системе К магнитное поле Тогда в системе К связь менаду Б и В оказывается очень простой. Заметим прежде всего, что поскольку Из (6.38) получим

Если же в системе К равно нулю поле Е или в системе К равно нулю Е, то, аналогично,

В обоих случаях в любой инерциальной системе поля оказываются взаимно перпендикулярными. Как из релятивистских формул (6.38), так и из приближенных формул для малых скоростей (6.41) вытекает, что если в одной из систем (скажем, К) электрическое или магнитное поле равно нулю, то во всех других инерциальных системах отсчета электрическое и магнитное поля перпендикулярны друг другу. Этот же самый результат можно

получить, используя инварианты преобразований Лоренца (см. § 0.5).

Если в системе отсчета К поля и В взаимно перпендикулярны, то существует система отсчета К, в которой одно из полей исчезает. В § 6.5 будет показано, что преобразования Лоренца оставляют выражение инвариантным. Следовательно, если в К удовлетворяется условие , за счет выбора системы отсчета можно получить чисто электрическое поле, а если — чисто магнитное. Покажем, как находится скорость V системы отсчета К. Пусть эта скорость в случае перпендикулярна В, а в случае перпендикулярна Е. Тогда соответственно в первом случае во втором Остается добиться в первом случае ; для этого требуется выполнение условия (см. (6.38))

Умножив обе части итого выражения векторно на и принимая во внимание соотношения для скорости системы отсчета V получим

Аналогично, но втором случае нриходим к формуле:

Всегда можно найти такую инерциальную систему отсчета, к которой электрическое и магнитное ноля в данной точке параллельны друг другу (см., однако, замечание о световых волнах в конце § 6.5). Очевидно, что если существует одна такая система, то существует и бесчисленное множество систем, обладающих этим же свойством. Действительно, в любой инерциальной системе отсчета К, движущейся равномерно и прямолинейно относительно К по направлению, совпадающему с общим направлением Е и В, поля К и В останутся параллельными, потому что компоненты полей, направленные вдоль движения, не изменяются.

Чтобы найти хотя бы одну систему, в которой поля параллельны, поступим следующим образом. Допустим, что в системе К поля параллельны, т. е. Направим скорость системы К (в которой поля Е и В уже не будут параллельными) перпендикулярно полям Е и В; направление скорости V примем за ось (рис. 6.2). Тогда и равенство пулю векторного произведения эквивалентно равенству Подставляя в ото равенство значения компонент Е и В, выраженные через компоненты Е и В согласно (6.36), мы придем

к уравнению

Из этого уравнения можно определить по заданным полям Е и скорость системы I. Если принять во внимание, что согласно то мы сразу можем найти и направление скорости V относительно и В.

Действительно, и поэтому можно, решая приведенное выше уравнение, записать

Рис. 6.2. Переход еистемс отсчета которой электрическое и магнитное поля оказываются параллельными.

Тем самым, по заданным векторам Е и В в системе К можно пайти систему К, в которой Е и В будут параллельны. Направление скорости этой системы совпадает с направлением а величина скорости является одним из корней квадратного уравнепия (6.48). Разумеется, из двух корней (6.48) выбирается тот, которого с. Случай разобран выше: перейти к параллельным полям здесь уже нельзя, зато можпо перейти либо к чисто магнитному, либо к чисто электрическому нолю.