§ 5. Свертывание («омоложение») индексов тензора.

В тензорном исчислении вводится операция, приводящая к понижению ранга тензора. Для тензора второго ранга она состоит в том, что суммируются компоненты тензора, имеющие два равных индекса. Замечательно, что такая операция приводит к инвариантному выражению. В случае тензоров более высокого ранга свертывание приводит к тому, что ранг тензора понижается на две единицы.

Доказательство этого свойства очень просто. Выпишем формулу преобразования компонент тензора

и просуммируем компоненты с равными индексами, положив тогда

в силу Таким образом,

Хотя в этой книге почти не используются тензоры высших рангов, нам встретятся результаты их свертывания. Мы видели, что дифференцирование скалярной функции (т. е. инвариантного выражения) ведет к образованию вектора — градиента функции Дифференцирование вектора ведет к образованию тензора второго ранга Мы уже убедились в том,

что свертка этого выражения является инвариантом (П.1.34):

Если компоненты тензора второго ранга зависят от координат, то их дифференцирование ведет к образованию тензора третьего ранга. Например, из тензора мы получаем тензор третьего ранга

Образуем свертку этого тензора по индексам к и убедимся, что она приводит к образованию четырех величин, образующих компоненты вектора. Действительно,

Принимая во внимание, что индексы пемые, мы видим, что величины преобразуются по закону преобразования векторов (П.1.32).

Рассмотрим еще, как получить инвариантное выражение из компонент тензоров второго ранга. Если произведение компонент двух векторов, как мы видели, образует тензор второго ранга, то, как легко проверить, произведение компонент двух тензоров второго ранга ведет к образованию тензора четвертого ранга. Пусть компоненты тензора обозначаются через а тензора — через . Их произведение представляет собой тензор четвертого ранга. Свернем этот тензор по индексам , а также по к и т. е. составим выражение

которое представляет сумму попарных произведений соответствующих компонент. Мы убедимся, что это выражение не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой. Этот результат легко доказывается, поскольку правило преобразования для компонент известно:

Положив получим

Равепство (II.1.41) и представляет собой доказательство инвариантности Конечно, частным случаем будет инвариантность или

Поскольку мы неоднократно пользовались теоремой Гаусса — Остроградского в применении к векторам, представляющим собой трехмерную свертку тензора, мы выпишем соответствующие формулы. В трехмерном пространстве эта теорема касается преобразования потока вектора по замкнутой поверхности в интеграл по объему охватываемому этой поверхностью, например:

Эта же теорема в симметричных обозначениях имеет вид

где на — компоненты нормали к элемепту поверхности Если применить (П.1.43) к вектору

то мы получим