§ 3. Тензоры.

Векторные величины являются частным случаем математических величин более сложпого характера — тензоров. Чтобы перейти к ним, постараемся подчеркнуть, что главное в определении вектора. В заданной коордипатноп системе вектор представляет собой направленный отрезок,

характеризуемый своими координатами. Но поскольку выбор координатной системы дело случайное, то и координаты вектора имеют случайный характер. Существенно, однако, то, что по заданным координатам вектора в одной декартовой системе координат можно найти его декартовы координаты в любой другой системе но формулам (П.1.5). Именно эти формулы преобразования и определяют вектор. Таким образом, векторная природа величин раскрывается при преобразовании координат.

Чтобы познакомиться с понятием тензора на конкретном примере, напомним, как в электростатике вводится связь между вектором электрической индукции I) и напряженностью внешнего электрического поля Е. Вообще говоря, зависимость неизвестна. Запишем через компоненты

Принимая, что в отсутствие внешнего поля вектор также равен нулю и считая, что внешнее иоле мало (по сравнению с электрическими силами, действующими между молекулами вещества), можно разложить неизвестную векторпую функцию в ряд Тейлора:

где по индексу ведется суммирование. В силу малости поля Е его компоненты тоже малы (фактически это хорошее приближение для реальных полей, за исключением полей, достигаемых в лазерных лучах), и можно ограничиться линейными членами, пренебрегая всеми остальными. Введем обозначение для постоянных величин (производных в нулевой точке):

Тогда получеппые выражения можно записать в виде

или сокращенно:

По компонентам легко построить сам вектор

Связь между двумя векторами, выражаемая формулами называется линейной векторной фупкцией; другими словами, вектор является лилейной векторной функцией Е.

На основании формул (П.1.24) но заданному вектору Е в каждой точке диэлектрика в той системе координат, в которой известны коэффициенты можно построить вектор Но выбор системы координат дело случайное. При повороте декартовой системы координат меняются компоненты векторов, но сами векторы остаются неизменными. Вопрос состоит в том, как должны меняться коэффициенты чтобы в новой системе сохранилась связь — причем Это означает, что мы должны иметь два разложения одного и того же вектора:

Но закон преобразования компонент векторов и координатных векторов известен (см. (П.1.11)): , и левую часть (II.1.25) можно переписать согласно этим формулам, оставив правую без изменения:

Сравнивая коэффициенты при слева и справа, находим закон преобразования коэффициентов

Сопоставим этот закон преобразования с законом преобразования координат:

Сравнение (П.1.27) и (П.1.26) показыпает, что каждый индекс преобразуется но закопу, соответствующему правилу преобразования координат.

Закон преобразования представляет собой закон преобразования тензора. Обратное преобразование, очевидно, имеет вид

Дадим теперь общее определение тензора: если в данной декартовой системе координат заданы девять величин которые при преобразовании координат преобразуются по формулам

то эти девять величин образуют тензор второго ранга. Нетрудно понять, что векторы преобразуются, как тензоры первого ранга. Ранг тензора (или, как еще говорят, валентность тензора) определяется числом его индексов. В нашем случае их два. В этой книге тензоры более высокого ранга почти не используются. Тензор определяется для пространства определенного числа измерений, поскольку в закон его преобразования входят компоненты матрицы преобразования. Мы рассматривали трехмерное пространство, и греческие индексы и изменялись от одного до трех.

Мы хотели бы подчеркнуть две особенности преобразования тензоров:

1) Закон преобразования коэффициентов линейной векторной функции (тензора) получен как условие инвариантной физической связи между векторами.

2) Любая компонента тензора в «новой» системе коордипат представляет собой линейную комбинацию всех комнонент тензора в «старой» системе.

Отметим, как полезный частный случаи преобразование трехмерного тензора второго ранга , у которого отлична от пуля лишь одна компонента при плоском повороте. Отличными от пуля в штрихованной системе лишь (см.

Эти формулы встретятся нам пеоднократно.

В специальной теории относительности работают в четырехмерпом (псев-доевклидовом) пространстве. Мы уже рассмотрели правила преобразования 4-векторон в этом пространстве (согласно нашему определению вектор — это тензор первого ранга). В 4-пространстве правила преобразования тензоров фактически не меняются, только число компонент тензора увеличивается до шестнадцати, а суммирование ведется от 1 до 4:

Тензор называется симметричным, если его компоненты удовлетворяют равенству . У такого тензора всего лишь десять независимых

компонент. Примером симметричного тензора может служить тензор эпергии-импульса-натяжепий электромагнитного поля.

Тензор называется антисимметричным, если его компоненты удовлетворяют равенству Яспо, что элементы этого тензора с двумя одинаковыми индексами равны нулю, так как единственная величина, равная самой себе с обратным знаком, — это пуль. Таким образом, всего независимых компонент у антисимметричного тензора шесть (в связи с этим его иногда называют шестивектором). Примером антисимметричного тензора может служить тензор электромагнитного поля.

Тензор называется единичным, если Легко обнаружить, что тензор сохраняет свой вид при преобразованиях Лоренца во всех системах отсчета. Действительно, пусть тогда согласно (П.1.30)

последний переход сделан согласно

Выпишем для справок формулы преобразования тензора второго ранга при преобразованиях Лоренца, т. е. формулы перехода от системы к системе К (формулы обратного перехода получаются изменением знака у V и заменой штрихованных величии на нештрихованные и обратпо):

Тензорные величины возникают чаще, чем это может показаться с первого взгляда. Мы приведем покоторые примеры тензоров второго ранга в 4-пространстие. Произведения компонент днух векторов с ооразуют тензор. Действительно, составим выражепие Формулы преобразования компонент векторов известны:

Следовательно,

а это как раз есть закоп преобразования тензора (II.1.30).

Докажем, что производная по координате от компоненты вектора преобразуется, как компонента тензора. Рассмотрим вектор и производные

его компонент. Нам удобно выписать две формулы: откуда — которые используются в следующей цепи равенств:

Первые и последние звенья в (II.1.33) показывают, что производная преобразуется по правилу преобразования компонент тензора.

Из видно также, что преобразование производной от вектора можно вести последовательно. Сначала от перейти к согласно формуле Затем можно перейти от дифференцирования но к дифференцированию по Конечно, тензорный характер преобразования при этом сохраняется, но затушевывается. Так поступают иногда при преобразовании электромагнитного ноля, когда хотят избежать введения тензора.