§ 7.3. Ограниченная в пространстве плоская волна. Преобразование энергии и амплитуды плоской волны.

Вычислим компоненты тензора энергии-импульса-натяжений для плоской волны. Выберем ось вдоль направления распространения волны, ось у — по направлению вектора Е, а ось z — но направлению вектора В. При таком выборе осей . Тензор , имеет простой вид (см. (6.128), (6.148) и

Нам понадобятся компоненты тензора также в том случае, когда плоская волна распространяется в плоскости под углом оси х. Этот переход осуществляется простым поворотом координатной системы; матрица этого преобразования координат имеет вид

Преобразуя компоненты тензора (7.17) по общим формулам преобразования тензоров с помощью матрицы (7.18), мы придем к тензору

Поэтому, в частности,

Докажем теорему: ограниченная в пространстве по направлению своего распространения плоская волна (ипогди такую волну называют «цугом поли») обладает импульсом и энергией, образующими 4-вектор, аналогичный 4-вектору энергии-импульса материальной частицы (эта теорема является частным случаем более общей теоремы). Для доказательства нам нужно знать формулу, определяющую изменение объема, занимаемого цугом волн, при переходе от одной инерциальиой системы к другой. Трудность, которая здесь возпикает, состоит и том, что движется со скоростью света с, а это значит, что объем цуга измерить и собственной системе координат невозможно (систему отсчета, движущуюся со скоростью света, ввести нельзя!). Однако можно предпринять обходный маневр, избежав введения собственного объема и совершив в конце концов предельный переход к скорости света.

Пусть и системе движется как целое некоторый объем со скоростью причем в собственной системе координат его величина равна Тогда согласно (3.28)

Если рассматривать этот объем в системе К, то его скорость в этой системе будет уже определяться формулой (3.41), и, следовательно, величина этого объема в системо К (мы обозначим эту величину через равна

второе равенство вытекает из формулы (3.41). Здесь — это скорость движения объема в Теперь, перейдя к пределу , получим нужную Формулу:

Таким образом, если некоторый объем в системе К был равен то в системе К, движущейся относительно К со скоростью V,

будет обнаружен объем, величина которого определяется согласна (7.22). Разумеется, для дифференциалов объемов имеет место аналогичное соотношение:

Вернемся тенерь к доказательству теоремы. Применяя общие формулы преобразования тензора к тензору (7.17), мы получим компоненты четвертой строки матрицы следующего вида:

а для тензора (7.19) — компоненты

Естественно, что при формулы (7.25) переходят в (7.24). Докажем теперь, что компоненты (7.25), а следонательно, в частном случае и (7.24), умноженные на объем или элемент объема, в нужной системе отсчета преобразуются, как векторы. Действительно например,

Сравнивая полученные формулы (7.26) с формулами для преобразования векторов, приходим к выводу, что величины т. е. компоненты четвертой строки тензора (7.17) или (7.19), умножепные на соответствующий элемент объема, составляют 4-вектор.

Разумеется, этот результат сохраняется после интегрирования по объему или умножения на полный объем в том случае, когда компоненты тензора не зависят от координат, как это имеет место в плоской волне.

Найдем полную энергию цуга в системе К (см. (7.19)):

Компоненты полного импульса цуга определяются формулами

Аналогичный расчет можно проделать и в причем формулы (7.25) позволяют найти преобразование полной эпергии непосредственно:

Вычислим также составляющие полпого импульса:

где мы использовали в последнем звене формулу (7.11); аналогично, используя (7.12), получим

Таким образом, в любой инерциальпой системе отсчета можно ввести 4-вектор

причем во всех системах отсчета

Из условия вытекает, что световая волна в вакууме ни в какой инерциальной системе отсчета не может оказаться в покое. Сравнивая компоненты Р (7.31) с компонентами к (7.8), мы видим, что формулы преобразования и должны быть одинаковыми. Это значит, что отпошение должно быть инвариантным. Следовательно, анергия одного и того же нуга, измеренная разными наблюдателями, оказывается различной. Отношение энергий равно отношению частот монохроматического излучения, образующего Частоты определяются теми же наблюдателями, которые измеряют энергию. Предполагается, что достаточно длинный, поскольку иначе он не будет даже приблизительно монохроматическим.

Из полученных формул легко установить закон преобразования амплитуд в плоской волне. Действительно, из (7.25) для преобразования плотности энергии имеем

Сравнивая это выражение с формулой преобразования (7.10) для частоты:

мы видим, что плотность энергии преобразуется, как квадрат частоты. Поскольку плотность энергии есть квадратичная функция амплитуд поля плоской волны, то отсюда вытекает, что амплитуды в плоской волне преобразуются но тому же закону, что и частота.

Рис. 7.2. Изменение углового распределения излучения дипольного осциллятора при переходе от системы отсчета в которой он покоится , к системе отсчета К, относительно которой он движется . Видно, как максимум излучения наклоняется в сторону движения осциллятора. Ось осциллятора направлена но направлению движения осциллятора.

В качестве иллюстрации применения представления об электромагнитной волне как о системе, имнульс и энергия которой образуют 4-вектор, рассмотрим преобразование углового распределения излучения дипольного осциллятора от системы К, где его центр инерции неподвижен, к любой другой ИСО. Как известно, в системе отсчета, где центр инерции осциллятора ноконтся, а полярная ось направлена вдоль осциллятора, интенсивность излучения в направлении равна Но интенсивность излучения т. е. энергия, излучаемая в данном направлении в единицу времени, является величиной относительной. Легко найти закон ее преобразовании; для излучения где — доля импульса, уходящая с излучением в заданном направлении, причем Согласно преобразованиям Лоренца

( — собственное время). Разделив почленно верхнее равенство на нижнее, получим

Тогда мы сразу получаем искомый результат:

где мы использовали формулы (7.16) и (7.12). Из полученной формулы видно, что угловая зависимость излучения в системе К, относительно которой осциллятор движется, существенно отличается от угловой зависимости в системе К, особенно в том случае, когда с. Максимум излучения приходится уже на некоторое направление, составляющее острый угол с осью осциллятора (рис. 7.2).

Любопытно рассмотреть, как выглядит изотропное в системе отсчета К излучение в системе К. У нас уже есть все необходимые формулы. В этом случае и

Из последней формулы видеп «эффект прожектора» в К. Излучение копцентрируется вокруг направлении поскольку минимальное значение знаменатель принимает (при заданном отношении при

Рис. 7.3. К вычислению давления, оказываемого электромагнитной полной на поверхность.