§ 6.1. Трехмерная система уравнений Максвелла. 4-потенциал и 4-ток.

Теория Максвелла представляет собой макроскопическую теорию электромагнитного поля. В этой теории электромагнитное поле в произвольной среде описывается четырьмя векторами: напряженностью электрического поля Е, напряженностью магнитного поля Н, индукцией электрического поля и индукцией магнитного поля В.

В однородной изотропной среде число векторов поля, необходимых для описания электромагнитных явлений, уменьшается до двух, так как поля оказываются пропорциональными друг другу:

Постоянные коэффициенты называются соответственно диэлектрической и магнитной проницаемостями. Вакуум описывается как однородная изотропная среда с определенными значениями и которые принято обозначать и называть соответственно электрической и магнитной постоянными.

Векторы поля — согласно теории Максвелла — подчиняются двум основным уравпепиям:

слева написаны уравнения для произвольной среды, справа — для однородной и изотропной.

В теории Максвелла средние значения электрического и магнитного полей (по отношению к «истинным», микроскопическим полям) определяются векторами Е и В. Векторы Б и Н в общем случае связаны со средними полями соотношениями

где введены еще два вектора: вектор поляризации Р и вектор намагпичения М.

В теории Максвелла предполагается выполнение закона сохранения заряда; для непрерывного распределения заряда он записывается в виде уравнения не рерывности:

Здесь — плотность заряда, — плотность тока.

Следствиями уравнений (6.2) и (6.4) являются два уравнения, которые удобно присоединить к (6.2) и (6.4):

Для плотности силы, действующей со стороны электромагнитного поля на свободные заряды и токи, принимается выражение

называемое силой Лоренца. Из этого выражения еще раз видно, что Е и В являются средними макроскопическими полями.

Система уравнений Максвелла может быть записана не только через векторы поля, но и через скалярный и векторный потенциалы и А. Мы рассмотрим случай однородной изотропной среды и свяжем потенциалы и А с полями Е и В соотношениями:

Если подставить эти выражения в систему (6.26), наложив на потенциалы дополнительное условие Лоренца

(можно показать, что этому условию можно удовлетворить всегда), мы получим уравнения, которым должны удовлетворять потенциалы :

где

В уравнениях (6.9) подразумевается, что т. е. что плотности заряда и тока — заданные функции координат и времени. Уравнения (6.7) и (6.9) эквивалентны системе уравнений (6.2).

Далее, нужно придать четырехмерный смысл величинам, входящим в уравнения Максвелла, а сами уравнения Максвелла переписать в четырехмерной форме. Но действовать нам придется

постепенно и уравнения Максвелла (6.2), (6.4) в четырехмерной форме будут записаны лишь в § 6.7. Начнем же мы с построения четырехмерных величин из потенциалов и плотностей

Уравнения (6.9) — это дифференциальные уравнения одного и того же вида — уравнения Д’Аламбера. Поэтому они сразу записываются как одно четырехмерное уравнение, если ввести два 4-вектора: вектор 4-потенциала Ф и вектор 4-плотпости тока

Некоторое время мы будем выписывать параллельно определения и соотношения в действительной и мнимой форме, аналогично тому, как мы поступали в механике. Итак, определим вектор 4-потенциала Ф следующим образом:

и вектор 4-тока:

Напомним также определение 4-радиус-вектора:

Компоненты 4-векторов соответственно в обычных и симметричных обозначениях записаны в двух параллельных строках, и их сопоставление позволяет сразу найти нужпое значение компоненты. Определив 4-потенциал и 4-плотность тока, можно уравнения (6.9) записать в вакууме (т. е. при где едипой формулой:

То, что три уравнения (6.13а) при совпадают с тремя уравнениями (6.9) в вакууме, очевидно. Уравнение (6.13а) для дает но и мы приходим к уравнению (6.9).

Убедиться в том, что и уравнения (6.136) совпадают с уравнениями (6.9) в вакууме, мы предоставляем читателю.

Условие Лоренца (6.8) и закон сохранения заряда (6.4) можно записать в вакууме через 4-дивергенцию векторов Ф и

Действительно, например,

Значит, условие Лоренца и закон сохранения заряда в вакууме в четырехмерной записи имеют вид Конечно, и действительная запись ведет к тем же самым результатам. Выводы, к которым мы пришли, весьма существенны. Как показано в Приложении I, § 4, 4-дивергенция — инвариант преобразований Лоренца. Что касается уравнений (6.13 а, б), то эти 4-векторные соотношения справедливы в любой инерциальной системе отсчета в вакууме. Таким образом, уравнения для потенциалов, условие Лоренца и закон сохранения заряда могут быть переписаны так, что становится сразу очевидным, что они сохраняют свой вид в любой инерциальной системе отсчета. Относительно ковариантной записи уравнений для потенциалов в преломляющей среде ) см. далее (§§ 6.14, 6.15).