§ 6.11. Тензор энергии-импульса-натяжений электромагнитного поля в вакууме.

Переход к четырехмерным величинам объединяет величины, связь между которыми при трехмерном подходе была завуалировала. Для свободной частицы в один 4-вектор слились энергия и импульс. Электрическое и магнитное поля в 4-пространстве объединились в тензор электромагнитного поли. Энергия и импульс электромагнитного поля оказываются составляющими тензора, в который, кроме энергии (скаляра в трехмерном случае) и импульса (трехмерного вектора), входит еще и трехмерный тензор натяжений Максвелла. Нам придется сначала привести результаты теории Максвелла в трехмерной формулировке.

1. Закон сохранения энергии для зарядов и поля. Этот закон непосредственно вытекает из уравнений Максвелла: умножив скалярно (6.56а) на Е, а (6.57а) на Н и вычитая полученные выражения, будем иметь

Имея в виду тождества (последнее справедливо для изотропной среды, в которой мы получаем

откуда после интегрирования по произвольному объему и применения теоремы Гаусса — Остроградского приходим к

Слева в (6.119) стоит изменение во времени энергии электромагнитного поля в объеме Т. Эта энергия определяется в теории Максвелла через плотность энергии (энергию едипицы объема)

интегрированием по объему:

Рассмотрим самый простой случай — заряды в вакууме. В этом случае а плотпость силы, действующей на эти заряды, — плотность силы Лорепца

Эта сила вводится в теорию, чтобы перекинуть мостик между теорией поля и силовым действием со стороны поля на заряженные тела, помещенные в поле. В равенстве (6.119) есть выражение Если умножить (6.122) скалярно на мы получим, что Таким образом, один из членов правой части в этом случае — это просто работа поля над зарядом. Она — по закону сохранения энергии — должпа переходить в кинетическую энергию частил; Т. Следовательно,

Во второй член правой части (6.119) введен вектор Пойнтинга

а сам иитеграл представляет собой поток вектора через поверхность, ограничивающую рассматриваемый объем Т. Под знаком интеграла стоит еще — произведение величины площадки на поверхности на единичный вектор ее нормали Таким образом, закон сохранения энергии для зарядов и поля может быть записан так:

Вектор Пойнтинга (6.124) обычно интерпретируется как поток опергии в единицу времени через едипичную площадку, расположенную нормально вектору Пойнтипга. Такая интерпретация вовсе не обязательно следует из уравнений Максвелла. Прямое следствие уравнений Максвелла, которому можно придать смысл закона сохрапепия энергии, — интегральное соотношение (6.119). Ясно, что любая добавка к вектору Пойнтинга удовлетворяющая условию меняет соотношения (6.119). Однако общепринятая интерпретация подтверждается опытом.

2. Закон сохранения импульса для зарядов и поля. К закону сохрапсния импульса можно подойти так. Умножим (6.56а) векторно на В, а (6.57а) векторно на будем иметь после почленного сложепия полученных равенств

Здесь учтено, что окончательно:

Воспользуемся векторным тождеством:

Вычитая соответствепно левую и правую части (6.126) из тождества

(см. (6.566) и (6.576)), получим окончательно выражение

которое можно переписать и виде

где введен тензор натяжений Максвелла

Тензор (6.128), симметричный в вакууме и изотропных телах, уже несимметричен в телах анизотропных, где он определяется согласпо последнему равенству в (6.128). Интегрируя по произвольному объему в области, где существует электромагнитное

поле, получим

В (6.127) снова предположено, что мы имеем дело со свободными зарядами в вакууме, на которые действует сила Лоренца (6.122). По второму закону Ньютона

где Р — импульс частиц, заключенных в объеме Г? Интеграл по объему, стоящий в левой части равенства (6.129), преобразуется в поверхностный интеграл (по поверхности, охватывающей объем Г):

Выражения

представляют собой силу, действующую на бесконечно малый участок поверхности компоненты нормали к которой равны на. Векторы — единичные векторы декартовой системы координат. Мы могли бы уже написать закон сохранепия импульса, если бы знали, что следует считать импульсом электромагнитного поля в веществе. Поэтому ограничимся пока случаем вакуума, где Тогда, учитывая (6.130) и (6.131), можно переписать (6.129) в виде

определив при этом плотность импульса поля в вакууме как

и, следовательно, импульс поля в объеме Г как

Соотношение (6.132) вместе с определением (6.133) выражает закон сохранения импульса. Для полного поля, когда на граничной поверхности мы получаем закон сохранения . Тензор определен пеоднозпачно: из уравнений Максвелла вытекает лишь интегральное соотношение

(6.132), и если добавить к каждой компоненте вектора компоненту произвольного тензора удовлетворяющего условию то

и соотношение (6.132) все равно удовлетворяется. Здесь все аналогично тому, когда мы выбираем выражение для вектора Пойнтинга из теоремы о сохранении энергии или ищем выражение для плотности тока смещения. Нага выбор определяется тем, насколько правильны все следствия такого выбора. Тензор натяжений (6.128) в вакууме, где совместно с определением импульса (6.133) дает разумные физические результаты.

Заметим в заключение, что из соотношения (6.132) ясно, что определения плотности импульса и тензора натяжений тесно снизаны между собой. Переопределив выражение для плотности импульса, мы сразу же изменяем выражение для (см. § 6.12).

Резюмируем результаты для вакуума: как следствие максвелловских уравнений, электромагнитному полю в вакууме необходимо приписать плотность импульса, определяемую формулой (6.133). Тогда формула (6.132) выражает закон Ньютона: приращение суммарного импульса зарядов и поля в объеме Т равно сумме действующих на этот объем сил. Эти силы удается записать в виде поверхпостпых сил, т. е. сил, действующих на поверхность, ограничивающую объем Т.

Переход к четырехмерным выражениям можно осуществить следующим образом. Докажем сначала, что плотность 4-силы (6.54) можно переписать в виде четырехмерной дивергенции тензора

где тензор энергии-импульса-натяжений; компоненты этого тензора имеют вид

Справа в (6.134) в первом слагаемом суммирование идет по а во втором — по и соответствующие компоненты тензоров (6.29а) и (6.31).

Чтобы получить соотношение (6.134), нам понадобятся уравнения Максвелла, записанные в виде (6.60) и (6.67); мы их перепишем в удобном для нас виде:

Начнем преобразование четырехмерной плотности силы:

Мы использовали (6.135) и применили правило дифференцирования произведения.

Займемся теперь вторым членом в последнем звене равенства (6.137):

В цепи равенств (6.138) проводятся следующие операции. Переход ко второму звену основан на том, что с учетом антисимметрии тензоров можно поменять местами индексы в каждом члепе произведения, не меняя при этом произведения:

Поэтому вместо одного члена берем полусумму двух равных вырн жений, стоящих в левой и правой частях равенства (6.139). В третьем эвене произведена замена немых индексов, не меняющая результата суммирования: индекс I заменен на индекс к, и наоборот, т. е. вместо написано . В четвертом звене вынесен за скобки общий множитель а в пятом использовано выражение (6.136). В шестом звене равенства мы заменили согласно (6.58), что справедливо лишь для вакуума.

Однако результат (6.138) остается справедливым также и для однородной изотропной среды. Как легко убедиться, компоненты тензоров и в такой среде по-прежнему пропорциональны, но с разными коэффициентами пропорциональности для

пространственных и временных компонент. Из общего вида тензоров ясно, что пространственные компоненты связывают между собой векторы а временные — векторы . Чтобы получить нужную связь — следует положить

Но тогда, начиная с пятого звена (6.138), последующая цепь равенств перепишется так:

Последнее звено равенства (6.138), а также третье звено равенства (6.142) написаны по правилу дифференцирования произведения:

Так как множители а и в (6.140) и (6.141) постоянны, их можно внести под знак дифференцирования. И, наконец, для удобства при суммировании введены другие пемые индексы, что не меняет сумму Таким образом, результаты для вакуума и однородной изотропной среды оказываются одинаковыми.

Разумеется, этот результат формально очевиден из того, что в системе вакуум является просто одной из однородных и изотропных сред, до тех пор пока существенны лишь соотношения

Для того чтобы объединить первый член в (6.137) со вторым в окончательной форме (6.138) или (6.142), нужно, чтобы дифференцирование в обоих членах шло по одним и тем же переменным. Но перейти к дифференцированию по другой переменной можно с помощью символа Кронекера

Теперь можно записать уже выражение для полностью (см. (6.137)):

В первом слагаемом сделаем замену немых индексов суммирования: индекс к заменим на а индекс I — на к в первом и втором слагаемом. Тогда мы получим окончательно

где определяется согласно (6.134).

Итак, компоненты 4-силы можно выразить через компоненты тензора зависящие от векторов поля Е и В (напомним, что для вакуума, о котором идет речь в этом параграфе, компоненты тензоров и согласно (6.58), пропорциональны, с одним и тем же коэффициентом пропорциональности).

Из этого обстоятельства и определения тензора видно, что в вакууме он симметричен, т. е. Это означает, что у этого тензора десять независимых компонент. В веществе симметрия 4-тензора утрачивается.

Найдем теперь компоненты выраженные через векторы электромагнитного поля. Сначала рассмотрим выражение Это просто сумма попарных произведений соответствующих компонент матриц (6.29а) и (6.31). Из определения тензоров соответствующие компоненты видны сразу. Обозначив чреез коэффициент при найдем

Двойка перед скобкой появилась потому, что из-за антисимметричности и произведение попарных компонент даст два раза выражение с Теперь можно уже переписать выражение для компонент (заменив еще на в следующем виде:

Займемся теперь отдельными компонентами. Найдем, например,

Мы обпаружили, что — это компонента трехмерного максвелловского тензора натяжений (6.128). Аналогично можно

показать, что все компоненты тензора т. е. те компоненты, для которых индексы к принимают значения от 1 до 3, совпадают с тензором натяжений Максвелла (6.128). Остается рассмотреть компоненты где по крайней мере один из индексов равен 4. Мы начнем с Т:

Компопента оказалась равной плотности энергии электромагнитного поля. Найдем теперь Т:

Аналогично

Компоненты оказались пропорциональными компонентам плотности импульса электромагнитного поля То, что здесь речь идет именно о плотности импульса, а не о потоке энергии, которому импульс пропорционален, выяснится несколько ниже (см. Выпишем матрицу тензора энергии-импульса-натяжений электромагнитного поля в вакууме

Левый верхний квадрат, состоящий из девяти величин, определяет тензор натяжений Максвелла. Он становится релятивистски правильной величипой после обрамления его энергетическими величинами и . Убедимся в том, что, построив тензор мы получили законы сохранения энергии и импульса, выраженные в трехмерной форме уравнениями (6.125) и (6.132). Рассмотрим пространственные составляющие 4-силы:

Мы учли, что трехмерный импульс электромагнитного поля в вакууме имеет составляющие Умножая каждую состав

ляющую на свой единичный вектор и складывая эти величины, получим трехмерная сила Лоренца)

Интегрируя тождество (6.153) по произвольному объему, получим

В левой части (6.154) стоит изменение суммарного импульса частиц и суммарного импульса поля:

К правой части (6.154) применим теорему Гаусса — Остроградского:

последпий переход учитывает симметрию тензора Та Итак, мы пришли к закону сохранения импульса (6.132) и вместе с тем убедились в правильности утверждения о том, что компоненты пропорциональны компонентам импульса электромагнитного поля. Выражение можно рассматривать не только как силу, действующую на "элемент поверхности, его можно рассматривать также как и поток импульса через этот элемент поверхности. Величина дает векторную компоненту этого потока. Конечно, обе эти интерпретации равнозначны. Рассмотрим теперь . С одной стороны, согласно (6.54)

а с другой,

Следовательно, можно записать (6.158) так:

Иптегрируя выражение (6.159) по произвольному объему в поле, получим, учитывая (6.121) и (6.123),

причем к члену уравнения (6.159) применена теорема Гаусса. Это и есть закон сохранения эпергии (6.125).

Таким образом, в релятивистской теории максвелловские натяжения, импульс и энергия поля в вакууме слились в одну тензорную величину — тензор энергии-импульса-натяжений. Законы сохранения энергии и имнульса стали выражаться единым соотношением.

Принципиально важным свойством тензора энергии-импульса-натяжений является его симметрия. Для электромагнитного полк в вакууме отсюда сразу следует фундаментальное соотношение между плотностями потока энергии и импульса:

Легко убедиться в том, что «след» тензора т. е. сумма его диагональных компонент, равен нулю.

Установив тензорную природу натяжений, импульса, потоки и плотности эпергии электромагнитного поля, мы автоматически получаем и правила преобразования этих величин при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Мы выпишем лишь те формулы преобразования, которые нам понадобятся. Подставляя зпачепия компонент (6.151) в общие формулы (П.1.31), мы получим