Глава 3. СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛОРЕНЦА. КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕРВАЛОВ И ПРИНЦИП ПРИЧИННОСТИ. МЕТОД k-КОЭФФИЦИЕНТА

Не следует думать, что из преобразований Лоренца можно получить какие-то новые следствия, которые нельзя было бы получить непосредственно из постулатов Эйнштейна: ведь и сами-то преобразования Лоренца и конечном счете являются следствиями постулатов Эйнштейна. И в самом деле, начало этой главы посвящено обсуждению результатов, которые были уже получены в гл. 2. Другое дело, что с помощью преобразований Лоренца они получаются проще, и мы, конечно, этим воспользуемся. Мы не откажемся даже от того, чтобы показать, как все эти следствия, включая закоп преобразования скоростей, можно получить, даже не прибегая к построению координатной системы (метод -коэффициепта). Может, конечпо, сразу возникнуть вопрос, в чем же эпачение преобразований Лоренца, если все результаты, полученные до сих пор, можно извлечь и другими путями. Но все дело заключается в том, что, несмотря на всю важность полученных результатов, это еще не все то, что нам нужно. Чтобы убедиться в выполнении принципа относительности, нужно знать, как преобразуются осповпые уравнения физики при переходе от одной ИСО к другой. В основе этих преобразований как раз и лежат преобразования Лоренца.

§ 3.1. Об измерении длин и промежутков времени. Относительность одновременности.

Преобразования Лоренца позволяют пересчитывать координаты события (в «координаты» включается и время) при переходе от одной к другой. Но событие — это всего лишь элемент физического явления, и в конечном счете основной задачей СТО является соответствующий пересчет наблюдаемых физических величин. Одпако, прежде чем ставить эту задачу, нужно остановиться на процессе измерения осповпых физических величип. Важнейшими физическими измерениями являются измерепия расстояний (длин) и промежутков времепи. Мы привыкли измерять длины тел или расстояния между точками, если эти тела или точки покоятся относительно нас. Если тело покоится, то достаточно переложить вдоль него единичный масштаб столько раз, сколько это нужно. Так и поступают в повседневной жизни, когда, скажем, отмеряют ткапь или измеряют длину комнаты.

Довольно просто также измерить промежуток времепи между двумя событиями, наступающими в той же самой точке, где находятся часы. Нужно просто отметить момент времепи, когда произошло первое событие, и момент времени, когда произошло второе событие. Разность между отсчетами часов и даст промежуток времени между событиями. Именно так устанавливается, например, продолжительность лекции или футбольного матча.

Но как измерить длину тела, движущегося относительно нас? Пусть мимо нас с большей скоростью проходит поезд и мы хотим определить его длину. Одному человеку сделать это совсем не просто. Ведь он должен одновременно заметить положение начала поезда (электровоза) и хвоста поезда относительно каких-то точек, неподвижных на земле. Но когда он заметит положение электровоза и начнет поворачивать голову, хвост уже уйдет вперед. Следовательно, о том, чтобы зафиксировать одновременно положение начала и хвоста поезда, следует особо позаботиться.

После того, как одновременное положение начала и хвоста отмечено на земле, расстояние легко промеряется обычным способом — это длина покоящегося тела.

А как найти промежуток времени между событиями, происходящими в различных точках пространства? Вспомним, как измеряется время спринтера при забеге на стометровку. Здесь события — это старт и финиш спортсмена. Часы одни! Выстрел стартера служит сигналом к началу бега и запуску секундомера, который находится на финише. Звук распространяется в воздухе со скоростью и спортсмеп начнет свой бег раньше, чем судья на финише запустит секундомер. Но все это не очень существенно, потому что скорость бегупа очень мала (в лучшем случае около что мало даже по сравнению со скоростью звука). Но из приведенного примера можно почувствовать, что определение промежутка времени между двумя событиями, наступающими в разных точках пространства, требует внимании.

В § 2.1 было рассказано, как поступают в теории относительности: в каждой инерциальной системе строится своя система координат, и во всех точках этой системы, где это потребуется, расставлены неподвижшле часы. Эти часы синхронизованы в этой системе отсчета, так что одинаковым показаниям этих часов соответствует один и тот же момент времени в этой системе.

Когда мы переходим к сопоставлению событий в двух инерциальных системах отсчета К и К, мы увязываем показания синхронизованного набора часов из К с таким же набором часов из тем, что полагаем в совпадающих началах О и О (см. § 2.2). Напомним, что преобразования Лоренца — это просто пересечет координат события в системе К, т. е. координат к координатам того же события в системе К. По формулам (2.16), или (2.29), или, наконец, (2.40) мы получаем

выражение для через Конечно, все те неожиданные с точки зрения «здравого смысла» следствия постулатов Эйнштейна, с которыми мы познакомились в гл. 2, можно получить и из преобразований Лорепца. Этим мы сейчас и займемся.

Предварительно выпишем две удобпые для дальнейшего формулы. Рассмотрим два произвольных события: Пересчет координат и времени этих событий в систему К согласно (2.37а, б) дает

Составляя разности т. е. вычитая нижние равенства из верхних, и вводя обозначения мы получим нужные формулы (сразу же выписываем и формулы обратного перехода):

Формулы (3.1) и (3.2) (а также (3.1) и (3.2) — это просто преобразования Лоренца для разностей пространственных координат и времен наступления двух событий. К ним следует добавить еще соотношения

Из формулы (3.2) сразу вытекает, что два события, одновременные в К, вовсе не одновременны в К. Действительно, полагая в получим

Видно, что если . Но если при также и то события либо совпадают, либо наступают в плоскости Для таких событий

Из формулы (3.2) следуют два условия, при соблюдении которых можно пренебречь относительностью промежутков времени между событиями. Во-первых, нужно считать В 1, тогда и можно записать Чтобы пренебречь вторым членом в этом соотношении, следует считать отношение малым. Это (второе) условие, безусловно, выполняется, если события наступают в области пространства, ограниченной вдоль оси т. е. при малых Однако никаких ограничений на область пространства по направлениям у и z нет, поскольку все события в плоскости наступают в один и тот же момент времени по часам системы К.

Конечно, относительность одновременности — это то же самое, что и рассинхронизация часов, подробно рассмотренная нами в § 2.4. В формуле (2.376) достаточно положить чтобы сразу получить формулу (2.9), которая далась нам совсем нелегко. Из формулы (3.2), стоит лишь положить мы получаем формулу (2.8). На этом примере видно, как много может быть скрыто в скромных на вид «преобразованиях».

В повседневной жизни нарушение одновременности в различных системах отсчета неощутимо: разность времен пропорциональна как это видно из (3.2), если положить (одновременность в К). Однако из той же формулы (3.2) видно, что если — — заметная величина, то и может быть заметной величипой. Это будет в том случае, если велико.

Очень важно подчеркнуть, что относительность одновременности обусловлена конечностью скорости света. Если совершить формальный переход к пределу с со (фактически это означает условие ), то одновременность становится абсолютной. Этот результат относится к случаю малых относительных скоростей систем отсчета.

Из формул (3.1) и (3.1') видно, что два события, наступившие в точках пространства с одной и той же х-координатой в системе К (т. е. в одной и той же точке системы отсчета К), в любой другой системе отсчета К имеют различные -координаты. Действительно, из (3.1) получим . Но — это промежуток собственного времени, и поэтому . Отсюда Смысл последнего результата очевиден. Он определяет смещение точки х относительно системы К, отсчитанное в системе К.