§ 3.4. Классификация интервалов и принцип причинности.

Из формул (3.1) и (3.2) видно, что если взять два произвольных события, то как пространственное расстояние между ними, так и промежуток времени между их наступлением оказываются относительными величинами До сих пор мы сталкивались с событиями частного вида: при измерении длин рассматривались координаты концов линейки одновременно при определении интервала времени рассматривались моменты времени и в одной и той же точке Но уже и в этих случаях пространственные и временные «расстояния» между событиями оказались относительными. Не удивительпо, что они оказываются относительными в общем случае. Вместе с тем, как мы знаем, непосредственно из постулатов Эйнштейна вытекает, что инвариантом преобразований Лоренца является интервал между событиями:

Обозначения те же, что и при выводе формул (3.1) и (3.2). Удобно ввести также отдельные обозначения для пространственного и

временного расстояний между событиями:

Записав квадрат интервала между двумя событиями в К в виде и квадрат интервала между этими же двумя событиями в мы выпишем условие инвариантности интервала в виде

Рассматривая события в произвольной системе отсчета К, мы скорее всего обнаружим, что события происходили в разных точках пространства и в разные момепты времени.

Нельзя ли за счет выбора системы отсчета К добиться: а) чтобы события I и II происходили в одной и той же точке пространства; б) чтобы события I и II нроисходили в одип и тот же момент времени и, наконец, в) чтобы события I и II происходили в одной точке пространства и в один и тот же момент времени? Начнем по порядку.

Итак, а) можно ли подобрать такую систему К, в которой эти события произойдут в однойи тойжеточке пространства, т. е. будут одпоместными? Это означает, что в системе К должно быть Но тогда из (3.19) следует, что

т. е. , а интервал должен быть действительным. Б системе К рассматриваемые события происходят в одной точке пространства, и с точностью до множителя с интервал между ними сводится к временному интервалу:

Поэтому действительные интервалы между событиями носят название времениподобных интервалов. Условие времениподобности интервала можно записать еще в виде

Рассмотрим движение частицы, обладающей массой покоя (только такие тела и рассматриваются в обычной механике). Допустим для простоты, что эта частица равномерно движется вдоль оси х и за время перемещается на расстояние . В системе К эта частица сместится на за время определенное согласпо (3.1) и (3.2). Отношение — скорость частицы в системе К. Учитывая это обстоятельство, перепишем (3.1) и (3.2):

Из (3.22) легко пайти скорость той системы К, в которой два рассматриваемых события одноместны, положив Да; — 0. Из правой части сразу же получаем очевидный ответ Это просто система, сопутствующая частице. Из (3.23) вытекает еще одно важное следствие. Пусть Это значит, что событие II наступило позже события I. Есть ли такая система К, в которой т. е. временная последовательность событий изменилась на обратную по сравнению с системой К? Из (3.23) видно, что знак будет совпадать со знаком в том случае, когда . Но это условие выполняется всегда, так как скорость тела всегда меньше с. (Система отсчета — ото тоже материальное тело.) Вместе с тем это же условие выполняется и для любой пары событий, связанных времениподобным интервалом. Действительно, в третье звепо равенства (3.23) входит выражение . Как видно из и если то заведомо с . Это значит, что отношение меньше единицы; всегда меньше единицы, поэтому , следовательно,

Следовательно, понятия «позже» и «раньше» для двух этих событий, рассматриваемых с точки зрения систем К и К, имеют одинаковый, т. е. абсолютный, характер. Вообще, если интервал между событиями времениподобный (напомним, что значение интервала — величина инвариантная), то последовательность событий во времени сохраняется во всех ИСО. Мы увидим ниже, что для интервалов, отличающихся знаком от времепинодобных, это совсем не так.

Какое значение имеет сохранение последовательности во времени для всех инерциальных систем отсчета? Мы начали с того, что два события, разделенные времепиподобным интервалом, в какой-то системе отсчета окажутся одноместными. Если одно из них произошло «раньше», а второе «позже», то первое может быть причиной возникновеиия второго, т. е. эти события могут быть связаны между собой причинно-следственной связью. По тогда их временная последовательность не может зависеть от выбора системы отсчета. Из наших результатов как раз и следует критерий возможности причинно-следственной связи (интервал — времениподобный). Последовательность же событий во времени сохраняется во всех системах отсчета автоматически.

Времениподобный интервал между событиями указывает на возможность причинно-следственной связи между событиями не только потому, что обеспечивает одинаковую последовательность событий во времени во всех ИСО. Он указывает на физическую возможность влияния одного события на другое. Из неравенства

характеризующего времениподобный интервал, вытекает, что за время, прошедшее между наступлением событий, свет заведомо может пройти от точки, где произошло событие I, к точке, где произошло событие II (нроизведоние с как раз и есть путь света за время Это означает, что в принципе за промежуток времени между наступлением события Т и наступлением события II некоторое взаимодействие (сигнал) могло бы распространиться от точки, где произошло событие I, к точке, где происходит событие II. Не претендуя на общность в постановке вопроса, будем считать, что одно событие может влиять на другое только через физическое (силовое) взаимодействие. Тогда, если событие I наступило, «сигнал» о том, что оно наступило, может попасть и точку, где произойдет событие II, до того, как событие II наступит. Это означает, что событие I может быть причипой события II, а событие II — следствием события I. В этом случае события могут находиться в причинно-следственной связи. Таким образом, и с физической точки зрения события, разделенные времениподобным интервалом, могут находиться в причинно-следственной связи. Разумеется, могут и не находиться в такой связи. Речь идет только о принципиальной возможности. Существенно, что для таких интервалов не нарушается последовательность событий во времени: следствие не может влиять на свою причипу.

б) Перейдем теперь к рассмотрению интервалов другого знака. Снова рассмотрим условие инвариантности интервала (3.19) и выясним, можно ли найти такую систему координат К, в которой два заданных события I и II происходят одновременно. Это значит, что в этой системе

Таким образом, Квадрат интервала между событиями должен быть отрицательным, а сам интервал оказывается мнимым. В системе К рассматриваемые события происходят в один и тот же момент времени, и интервал между ними сводится (с точностью до мнимой единицы) к пространственному интервалу Поэтому мнимые интервалы называются пространственноподобными. Условие пространственноподобности интервала можно записать еще и в виде .

Можно ли найти систему отсчета, в которой для двух данных событий Из (3.2), положив мы получаем для V значение

Так как можно всегда подобрать события так, что то из условия пространственноподобности интервала следует для этого случая Из (3.24) вытекает, что мы можем получить т. е. в принципе такую систему подобрать можпо. В третье

звено равенства (3.23) входит отношепие как мы сказали, опо может быть больше единицы. Но это значит, что множитель за счет выбора V можно сделать отрицательным.

Отсюда вытекает, что временная последовательность двух событий, связанных пространственноподобпым интервалом, может быть изменена за счет перехода от одной ИСО к другой. Это не годится для событий, которые могли бы находиться в причинно-следствепной связи. Но с физической точки зрения они и не могут находиться в такой связи. Действительно, условие говорит о том, что за время, которое проходит между событиями, никакой «сигнал» не может быть передан из точки, где наступило событие I, в точку, где наступит событие II. Следовательно, события, разделенные пространствегшоподобным интервалом, в причинной связи находиться не могут.

Итак, специальная теория относительности позволяет указать условия, при которых причинно-следствеппая связь между событиями оказывается возможной или невозмолшой. Это очень важный критерий, который в общем виде нельзя получить из других соображений. Следует, конечно, еще раз подчеркнуть, что все паши рассуледения опираются на представление о существовании предельной скорости передачи сигнала.

в) Если нас интересует система отсчета, в которой события были бы и одновременны и одноместны, т. е. соблюдались бы два равепства то для этого было бы необходимо совместное выполнение двух условий: Но они выполняются совместно лишь в том случае, если Если рассматриваемые события не состоят в посылке и приеме световых сигналов, то равенство интервалов нулю может быть лишь в том случае, когда оба события совпадают и в К и в К. Совпадение событий, конечно, не зависит от выбора системы отсчета.

Интервал между двумя событиями, наступившими в данной системе в разных точках пространства и в разные моменты времени, равный по абсолютной величине нулю, уместно назвать светоподобным интервалом. Светоподобным интервалом связаны события, состоящие в последовательном прохождении световой волны через различные точки пространства. Мы убедились в этом уже в начале § 2.6.