Глава 4. ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ

§ 4.1. Трехмерное и четырехмерное евклидовы пространства.

Когда мы вводим координатную систему, положение каждой точки задается с помощью трех чисел, которые называют координатами точки. Под многообразием трех измерений понимают совокупность всех точек. Если мы хотим от многообразия перейти к пространству, обладающему определенными геометрическими свойствами, мы должны определить выражение для расстояния между двумя бесконечно близкими точками многообразия. Задав квадрат расстояния менаду такими точками, можно уже определить основные геометрические величины (длина вектора, угол между векторами, площади двумерных фигур, образованных векторами). В мире, в котором мы живем, с большой степенью точпости справедлива геометрия, основные законы которой были сформулированы Евклидом. Согласно геометрии Евклида в декартовых координатах квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками может быть записан в виде

Это выражение представляет собой не что иное, как теорему Пифагора, записанную для диагонали прямого трехмерного параллелепипеда со сторонами

Координатная система может выбираться произвольно (декартова система координат выделена лишь своею простотой), и по самому своему геометрическому смыслу расстояние между точками не должно зависеть от выбора координатной системы. Это означает, что выражение (4.1) должно быть инвариантом любого преобразования координат. Инвариантом преобразования координат должно быть также и расстояние между любыми двумя точками. Таким образом, в евклидовой геометрии инвариантом является расстояние между двумя точками:

где — координаты двух точек пространства. Соотношения (4.1) или (4.2) связывают координаты двух точек пространства между собой. В частности, для переходов от одной декартовой системы к другой (такой переход представляет собой вращение, если отвлечься от малоинтересного

постунательного перемещения системы) формулы преобразования координат приведены в Приложении I, § 2. Из этих формул видно, что в новой системе координат любая новая координата выражается через все старые.

В трехмерном евклидовом пространстве можно ввести векторы, определяемые тройкой чисел — компонентами векторов. Координаты точки являются компонентами радиус-вектора. Следовательно, компоненты любого вектора преобразуются по правилу преобразования координат. Через компоненты векторов по известным правилам находятся абсолютные величины векторов, их скалярное произведение и угол между ними.

Что означало бы появление еще одного измерения в евклидовом пространстве? Разумеется, представить себе воочию четырехмерное пространство трудно. Но в этом и пет особой необходимости. Располагая основными соотношениями для трехмерного пространства, мы просто переносим их на четырехмерное пространство. Пусть координатами точки в 4-пространстве будут х, у, z, w. Для четырехмерного евклидова пространства квадрат расстояния между бесконечно близкими точками запишется уже в виде (мы приводим также и симметричные обозначения)

а расстояние между точками —

Выражения (4.3) и (4.4) будут инвариантами преобразования координат, а основные геометрические соотношения определятся по аналогии с определениями тех же величин, которые приняты в трехмерном пространстве.