§ 7.7. Кванты света в среде. Эффект Вавилова — Черенкова. Аномальный эффект Доплера.

Из предыдущего параграфа и § 6.12 ясно, что импульс фотона в среде определяется согласно (6.183), если исходить из тензора Минковского, и согласно (6.184), если исходить из тензора Абрагама. Энергия же фотона при переходе из одной среды в другую остается неизменной, если только не меняется частота колебаний. Какое же выражение для импульса следует использовать, применяя закон сохранения импульса к «световым квантам в среде»? На этот вопрос прямого ответа нет, и некоторые соображения по этому поводу будут приведены в конце этого параграфа. А пока мы покажем, что использование представления о кваптах света (фотонах) в среде в виде (6.183) позволяет получить полезные результаты, относящиеся к кинематике излучения, т. е. к условиям, налагаемым на частоты и направление излучения. Эти условии определяются законами сохранения энергии и импульса. Мы начнем с элементарного вывода условия излучения Вавилова—Черенкова.

В этом случае излучение исходит от частицы, не имеющей внутренних степеней свободы. Мы запишем законы сохранения для системы электрон — излучение. Конечно, сами по себе законы сохранения не дают ответа на вопрос о том, будет излучение или нет. Этот вопрос решается расчетом на основе уравпений электродинамики. Однако, если законы сохранения не соблюдаются, излучения заведомо нет.

Допустим, что произошло излучение кванта света. Если энергия и импульс электрона до излучения были а после излучения стали то законы сохранения энергии и импульса имеют вид

Записанные в таком виде законы сохранения предполагают, что изменепие энергии и импульса электрона связано только с излучением. Нетрудно найти нужное нам следствие (7.53) и (7.54), если вспомнить, что согласно закону Ныотона а умножив обе части этого равенства на вспомнив, что

мы получим

(это соотношение годится, естественно, лишь для малых изменений импульса).

Подставляя в (7.55) выражения (7.53) и (7.54), сократим на заметим, далее, что , где — угол между направлением движения электрона и направлением распространения излучения. Тогда окончательное кинематическое условие для угла излучения запишется в виде

Это — условие излучения Вавилова — Черенкова. Оно не выполняется, если электрон равномерно движется в вакууме поскольку а скорость электрона всегда меньше с. Следовательно, равномерно движущийся электрон в вакууме излучать не может.

Этот результат мы получали непосредственно из принципа относительности: покоящийся в какой-то ИСО заряд не излучает. Относительно любой другой ИСО этот заряд движется равномерно и прямолинейно. Но излучение либо имеет место во всех ИСО, либо не имеет места ни в одной из них. Следовательпо, равномерно движущийся электрон не излучает. Это рассуждение уже не годится, когда электрон движется в среде, потому что здесь появляется новая характерная скорость — скорость движепия электрона относительно среды, которая к тому же определяет «привилегированную» систему отсчета, свизанпую с ней.

Обратим впимание на то, что в нашем приближении, несмотря на использованные квантовые представления, в окончательных результатах выпало. Получепный результат — классический. Применение квантовых представлений имеет чисто методическое значение. Мы используем два закона сохранения, которые вовсе не требуют обязательного использования квантовых представлений.

Нетрудно получить условие излучения с учетом импульса отдачи. Введем 4-пектор энергии-импульса (кратко 4-импульса) кванта света в среде

При излучении фотопа электроном должен соблюдаться закон сохранения 4-вектора эпергии-импульса (другими словами, законы сохранения энергии и импульса). Пусть 4-импульс электрона до излучения равен после излучения а 4-импульс кванта

света , т. е.

Запишем закон сохранения 4-импульса:

или, в компонентах,

Возводя последнее соотношение в квадрат, получим

где во всех членах проводится суммирование по индексу . Однако в силу инвариантности квадрата импульса частицы и мы получим

(сокращать на , нельзя; слева и справа — независимое суммирование). Вычислим отдельно левую и правую части (7.58):

Приравнивая два эти выражения и учитывая, что , где — угол между испускаемым светом и направлением скорости электрона, получим

Отсюда

Если рассматривать не излучение, а поглощение кванта, то в этой формуле следует измепить знак передни. Если (что справедливо для видимого света и электрона), мы возвращаемся к классическому условию излучения (7.56):

К кинематике излучения относятся также вопросы изменения частоты и направления распространения света при переходе от одной ИСО к другой. Речь идет об эффекте Доплера и аберрации. Эти вопросы, конечно, удобнее всего решать с помощью СТО.

В § 7.2 мы рассмотрели случай распространения света в вакууме. Здесь мы получим соответствующие формулы для однородной изотроппой среды, показатель преломления которой равен оказывается, что этот случай существенно отличается от случая вакуума.

Фактически все вычисления с небольшими изменениями повторяют выкладки § 7.2, и поэтому мы проведем их весьма кратко, зато подробно обсудим результаты. Из 4-вектора и получаем пропорциональный ему 4-вектор фотона в среде

Пусть в системе отсчета К свет распространяется в плоскости под углом к оси среда по оится в системе К. Тогда

Компоненты вектора к в системе К найдутся по тем же формулам (7.9), ил которых, как и раньше, видно, что луч остается и в системе К в плоскости Вместо (7.10) получим

а вместо (7.11) и (7.12)

Отсюда для эффекта Донлера окончательная формула имеет вид (ср. с (7.13))

(причем по-прежнему (ср. (7.14)) а для угла аберрации (ср. с (7.15))

Пусть монохроматический источник с собственной частотой покоится в т. е. движется равномерно со скоростью V относительно К. Тогда Из формулы (7.64) видно, что при (это самые обычные среды, как вода и стекло, например) далее для скорости V может оказаться, что т. е. знаменатель может обратиться в нуль и даже стать отрицательным. Поскольку изменение знака частоты означает, в крайнем случае,

всего лишь изменение фазы колебаний:

то частоту всегда можно считать положительной. Следонательно, формулу для доплер-эффекта в среде можно записать окончательно так:

Отметим прежде всего, что из (7.66) видно, что среда не оказывает влияния на поперечный доплер-эффект: при мы получаем в точности ту же формулу (7.14), что и для вакуума.

Рис. 7.6. а) Кинематическое объяснение возникновения излучения Вавилова — Черенкова. Отмечены положения равномерно движущейся заряженной частицы в моменты времен» и За промежуток времени волновой фронт займет положение, изображенное пунктирной окружностью, б) Черенковский конус делит пространство вокруг излучателя на области аномального и нормального доплер-зффекта.

Мы еще раз убеждаемся в том, что поперечный доплер-эффект возникает только из-за относительности промежутков времепи между событиями.

При условии знаменатель (7.66) обращается в нуль, но это просто условие черепковского излучения. Если движется заряженная частица без внутренпих степеней свободы, она излучает в конус около этого направления. Для нейтральпого излучателя черепковский конус делит все пространство но отношению к наблюдаемому аффекту Доплера на две части. Условие выполняется вне черепковского конуса (рис. 7.6), и здесь мы имеем дело с нормальным доплер-эффектом, для которого как это всегда имеет место и вакууме. «Внутри» черенковского конуса ото уже аномальный аффект Доплера.

Небезынтересно сравнить формулы для аберрации света в вакууме и среде. Для случая нормального падепия в К получим в К

для угла аберрации а

Здесь отличие от вакуума (см. (7.15)) состоит лить в появлении показателя преломления вошедшего в знаменатель. Никаких особенностей при нет.

И в заключение о том, какое выражение для импульса фотона нужно считать «правильным». Как уже указывалось в § 6.12, два различных выражения для импульса фотона в среде соответствуют различному разделению плотности имнульса электромагнитного поля в среде на «плотность импульса поля» и «плотность импульса самой среды». Поскольку при рассмотрении эффекта Черенкова нас интересует полный импульс, теряемый электроном, а такой импульс определяется выражением использование дает правильный результат.