§ 8.2. Парадокс нити и рычага.

Пусть в системе (собственная система отсчета) покоится прямоугольная плоская рамка по диагонали которой натянута упругая нить, с двух сторон растягивающая шарик, масса которого равна (рис. 8.5, а).

Рис. 8.5. Прямоугольная рамка, по диагонали которой натянута упругая нить, растягивающая шарик т. а) Картина в собственной системе отсчета так выглядит та же картина с точки зреиия системы К; в) если вместо шарика взять гантель, то на все, с точки зрения К, действует пара сил.

В системе направление пити определяется из треугольника Если внести обозначения а то

В системе упругие силы направлены вдоль нити, поэтому можно написать еще, что

где через обозначена сила, направленная к вершипе С (аналогичные соотношения справедливы и для

Перейдем теперь к системе К, относительно которой система движется со скоростью V. Мы принимаем, как обычно, что оси совпадают, а оси соответственно параллельны. Согласно формулам преобразования длин и сил (3.5) и (5.34)

имеем

Отсюда видно, что равенство (8.1) уже несправедливо; в системе К угол, определяющий направление нитп, и угол, определяющий направление вовсе не равны друг другу:

Хотя сумма сил по-прежнему остается равной нулю, одпако силы в системе К плправлены под углом к нити (рис. 8.5, б). Это обстоятельство кажется на первый взгляд удивительным. Действительно, что произойдет, папример, если перерезать шпур на участке 2. В системе ускорепие в начальный момент должно быть параллельно направлению силы (это явно нерелятивистский случай, и обычный закон Ньютона вполне применим), т. е. оно направлено вдоль нити. В системе К, казалось бы, ускорение должно быть направлено под углом к нити, так как направление нити и направление силы не совпадают. Это явно противоречивые утверждения, но парадокс разрешается просто: в релятивистской динамике ускорение, вообще говоря, не совпадает по направлению с действующей силой и, хотя сила направлена под углом к направлению нити, ускорение направлено вдоль нити. Сам парадокс представляет собой полезную иллюстрацию особенностей релятивистского уравнения динамики.

Убедимся, что в обеих системах ускорение шарика направлено вдоль нити. Удобно записать релятивистское уравнение движения в виде

здесь — масса, — действующая на шарик трехмерная обычная сила, — скорость тела, где .

В системе в момент когда обрезают нить 2,

или, в проекциях,

Направление движения в пачальный момепт (делим почленно первое соотношение на второе) определяется соотношением

Согласно (8.1) это направление — направление ускорения — совпадает с направлением нити, как это и должно быть. Итак,

в силы и ускорение параллельны и движение в начальный момент паправлепо вдоль пити.

Теперь перейдем к системе К. В этой системе тело уже движется со скоростью, совпадающей со скоростью системы отсчета т. е. V. Поэтому и проекции ускорспия здесь запишутся уже так:

здесь учтено, что скорость шарика совпадает со скоростью системы К, т. е. равна V, и имеет компопепты — это компоненты силы в системе Чтобы найти направление ускорения в К, разделим почленпо (8.6) на (8.7):

где мы воспользовались в третьем звене цепи равенств соотношением (8.5), а в последнем — соотношением (8.4). Но из (8.8) видим, что ускорение в в пачальпый момент тоже направлено вдоль нитей, и никакого парадокса не возникает.

Однако представим себе, что вместо шарика, который подразумевается точечным, нити растягивали бы твердое тело, например гантель. Тогда в системе К на шарики гаптели действовала бы пара сил (рис. 8.5, в) и гантель повернулась бы относительно диагонали рамки.

Но в собственной системе очевидно, что ось гантели совпадает с диагональю рамки. Здесь мы, конечно, сталкиваемся с парадоксом. Но этот парадокс представляет собой вариант давно известного парадокса рычага, к которому мы переходим. Пусть в системе покоится рычаг (рис. 8.6). Он находится в равновесии, несмотря на то что на него действуют две силы: направленные каждая но соответствующей координатной оси. Равновесие обеспечивается равенством моментов сил в

направление моментов сил противоположное.

Тот же самый рычаг можно рассмотреть и с точки зрения К, относительно которой рычаг движется как целое со скоростью V. Если составить выражение для момепта силы и момента силы в К, то оказывается, что они уже не равны, а следовательно, возникает суммарный момент сил, действующих на рычаг.

Действительно, согласно (5.34) и (3.5)

Разность момептов сил создаст в К вращающий момент

где использовано (8.9). Парадокс состоит в том, что, хотя заведомо известно, что рычаг неподвижеп, в системе К на рычаг действует момент сил и, следовательно, рычаг должеп поворачиваться.

Рис. 8.6. Парадокс рычага. Если в системе рычаг находится в равновесии, суммарный момент сил равен нулю; но при рассмотрении того же самого рычага с точки зрения системы К согласно формулам преобразования длин и сил возникает момент сил, отличпый от нуля. СТО очень изящно объясняет, почему и точки зрения системы К рычаг будет находиться в покое (см. текст).

Весьма остроумное разрешение этого парадокса принадлежит «Пауэ. Мы привыкли к тому, что момент силы вызывает вращепие; другими словами, вызывает появление момепта импульса системы. В системе К момент силы действительно определяет скорость возрастания момента импульса, но возрастание момента импульса не связано с вращением рычага. Откуда же берется приращение момента импульса? Рассмотрим работу сил в системе К. В системе К рычаг движется, и в единицу времепи сила совершает работу Сила не совершает работы, так как она направлена нормально к скорости рычага. Следовательно, на конце рычага, в точке приложения силы совершается работа, и в единицу времени энергия рычага в этой точке возрастает на величину Но это означает, что масса рычага в точке приложения силы в единицу времени возрастает на Умножив эту величину на скорость рычага V, найдем приращения импульса . А момент импульса за единицу времени возрастает на . А это как раз и есть дополнительный момент (8.10). Итак, возникающий дополнительный момент описывает не вращение, а определяет скорость, с которой изменяется момепт импульса

системы. В этом объяснении ость свои слабости. В СТО нет абсолютно жестких тел, и мы обязаны учитывать деформацию рычага; в предыдущем рассуждении молчаливо предполагалось, что рычаг не меняет свою форму. В системе мы должны рассмотреть плечи рычага, изогнутые под действием сил

Рассматривая рычаг, мы наталкиваемся еще на один парадоксальный результат. Допустим, что на рычаг до момента силы просто не действуют, а в момент одновременно в «включаются» силы и . В каждый момент времени в равновесие будет соблюдено. Но в К силы будут включены уже не одновременно, и будет промежуток времени, когда сила уже действует, а сила — еще нет. Снова возникает момент силы. То, что здесь существенны именно силы, приложенные в разных точках тела (парадоксы возникают, разумеется, при рассмотрении твердых тел), видно из совсем простого примера. Пусть в на оси лежит твердое тело длиною I°. До момента на него силы не действуют, а в момент обеих сторон включаются равные, но противоположно направленные силы. В равновесие всегда есть, а в К есть промежуток времени, в котором силы не уравновешиваются, и, следовательно, тело должно прийти в движение. Оставим этот парадокс для размышления читателю.