§ 4.2. 4-пространство-время — четырехмерное псевдоевклидово пространство.

Рассмотрим четырехмерное многообразие, образованное «точками», коордипатами которых служат четыре числа определяющих 4-точку. В каждой точке этого многообразия может наступить то или иное событие, представляющее собой мгновенный физический процесс. Четырехмерное пространство-время — это чисто геометрическое понятие. Иногда, следуя Минконскому, это пространство называют «миром». Любое событие наступает в какой-либо точке мира Минковского.

Геометрические свойства мира Минковского могут быть установлены после того, как будет известно некоторое инвариантное соотношение между координатами точек, которое можно истолковать как расстояние между двумя точками многообразия. Если определить расстояния между точками, мы перейдем от многообразия к пространству. Но откуда можно найти нужное инвариантное соотпогаение? Не следует забывать, что координаты точек

«мира» определяются физически различными величинами, и поэтому заранее предполагать, что «расстоянием» в этом мире будет выражение вида (4.3), не следует. Но теория относительности дает прямой ответ на этот вопрос. Если оставаться в рамках инерциальпых систем отсчета, для любой пары событий (а с геометрической точки зрения — для любой пары точек мира Минковского) остается инвариантным интервал между событиями (3.19). Переход от одной ИСО к другой описывается преобразованиями Лоренца, и никакие другие преобразования в рамках СТО нам нужны. Следовательно, в качестве основной инвариантной квадратичной формы, определяющей «расстояние» в мире Минковского, мы можем — из физических соображений — взять выражение для квадрата интервала между событиями:

где Выражение (4.5) как раз и определяет квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками в мире Минковского. Таким образом, постулаты Эйнштейна, следствием которых является инвариантность интервала между событиями, приводят к тому, что геометрия 4-прострапства-времени (пространства Минковского) определяется основной фундаментальной формой вида (4.5). Из вида этой формы ясно, что координаты и время не равноправны.

В Дополнении V будет показано, что переход от инерциальпых систем отсчета к пеинерциальным меняет вид интервала между событиями. Хотя ото выражение всегда остается инвариантным, его форма становится уже иной — квадрат интервала приобретает вид

где справа подразумевается суммирование по и по к от 1 до 4, а коэффициенты называемые метрическими коэффициентами, могут зависеть от коордипат и времени. Сейчас это общее выражение нужно нам лишь для того, чтобы выписать для выражений (4.3) и (4.5). Используя симметричные обозначения, приведенные в (4.3) и (4.5), получим соответственно

Как это ясно и непосредственно, различие между (4.3) и (4.5) состоит в знаках метрических коэффициентов. Совокупность этих знаков называют сигнатурой соответствующих квадратичных форм. Сигнатура (4.3) имеет вид а сигнатура (4.5) — В четырехмерном пространстве, которое получилось бы простым увеличением числа измерений нашего обычного пространства, сигнатура была бы Такое пространство

ничем не отличалось бы от нашего пространства, кроме числа намерений, и оно также называлось бы евклидовым (четырехмерным) пространством. Сигнатура пространства, рассматриваемого в специальной теории относительности, соответствует сигнатуре вида (4.5), т. е.

Изменение сигнатуры означает измепение «расстояния» между точками пространства, изменение свойств пространства по сравнению со свойствами привычпого нам евклидова. Это 4-пространство с необычпыми геометрическими свойствами крайне важно для СТО. Именно в этом пространстве «наступают» все физические события, разыгрываются все физические явления.

Геометрия мира Минковского отличается от евклидовой геометрии, но все же не слитком сильно, потому что коэффициенты в (4.5), так же как и коэффициенты в (4.3), постоянны. В связи с этим геометрию, определяемому квадратичной формой (4.5), принято называть псевдоевклидовой, а соответствующее пространство — псеедоевклидовым пространством.

Итак, пространство четырех переменных специальной теории относительности является четырехмерным псевдоевклидовым пространством. Оно возникает отнюдь не простым добавлением четвертой (временной) координаты к трем пространственным х, у, z, а возникает при своеобразном определении (4.5) инвариантного расстояния между точками этого пространства.

Физическая причина необходимости рассмотрения псевдоевклидова пространства состоит в том, что, несмотря на тесную связь пространственных и временных отсчетов для события, эти отсчеты в СТО неравноправны.