§ 7.5. Изменение частоты света при отражении от движущейся поверхности (зеркала).

Пусть в системе К луч света движется иод углом к оси х в плоскости Зеркало, расположенное параллельно оси у, движется со скоростью V относительно системы отсчета К. Луч света, доходя до зеркала, отражается. Нас интересует частота отраженного света и его направление, если их определять в системе К.

Удобно ввести систему отсчета К, связанную с зеркалом. Тогда задача решается следующим образом. В системе К задап 4-вектор светового луча, т. е. частота света и направление его распространения. Нетрудно найти но формулам преобразований Лоренца частоту света и направление луча в системе К. Но в системе К, где зеркало неподвижно, справедлив обычный закон отражения: угол падения ранен углу отражения. Ото означает, что 4-вектор отраженного луча отличается от 4-вектора падающего луча лишь знаком компоненты волнового вектора по оси х. Чтобы получить 4-вектор отраженного луча в системе К, нужно еще раз применить преобразования Лоренца.

Итак, пусть в системе К распространяется луч света частоты под углом к оси луч движется в плоскости . Компоненты 4-вектора в системе К будут

Найдем 4-вектор того же луча в системе К, обозначив его через согласно преобразованиям Лоренца (4.10а)

При отражении от зеркала, покоящеюся в К, компонента меняет знак; поэтому 4-вектор отраженного луча к" запишется в виде

Отражеппый луч в системе К будет описываться 4-вектором , который получается обратными преобразованиями Лоренца (от системы К к системе К) 4-вектора :

Так как , то и после отражения свет остается в плоскости . Полагая

из соотношения (7.38) получим

Следовательно, наблюдаемая системе К частота отраженного света уже не равна частоте падающего света

Рис. 7.4 Отражение света от движущегося зеркала, а) Зеркало движется перпендикулярно своей поверхности. При отражении меняется частота и угол падения не равен углу отражения. б) Зеркало движется параллельно своей поверхности При отражении частота остается неизменной; угол падении равен углу отражения.

Для тангенса угла отражения в системе К получим

Из (7.41) видно, что поэтому угол падения и угол отражения в системе К оказываются различными (рис. 7.4, а).

Полезно выписать формулы для случая нормального падения света на зеркало. Пусть в системе К угол падения Тогда мы получим

Из (7.42) вытекает, что и после отражения спет распространяется по нормали к зеркалу, по в направлении, противоположном первоначальному. Система К, где покоится зеркало, двигалась в том же направлении, в котором распространялся свет. Частота света при отражении уменьшалась.

Если зеркало движется навстречу лучу, то величина В меняет знак и мы соответственно получаем

Частота света при отражении возрастает.

Используя этот эффект, можно определять скорость движущегося предмета, например автомобиля. Если автомобиль едет навстречу наблюдателю, то изменение частоты отражении определяется по (7.40) с точностью до членов

Если, например, скорость автомобиля то . Такое относительное изменение частоты легко обнаруживается стандартными приборами.

Мы рассмотрели случай, когда скорость зеркала направлена по нормали к нему. Но зеркало может двигаться и параллельно своей плоскости (рис. 7.4, б). В этом случае нам придется несколько видоизмепить использованные формулы. Формулы (7.33) и (7.34) остаются, разумеется, изменений. Однако при отражении меняется знак уже поэтому

Поскольку после отражения свет остается по-прежнему в плоскости Возвращаясь обратно в систему К, получим

Из (7.48) мы сразу же получаем, что а составив мы обнаруживаем, что т. е. что Следовательно, при движении зеркала параллельно самому себе частота падающего света равна частоте отраженного света, а угол падения равен углу отражения (в системе К).

В заключение выпишем формулы, соответствующие отражению от зеркала, движущегося нормально своей плоскости, в

нерелятивистском приближении, т. е. в том случае, когда скорость зеркала невелика: Пренебрегай всеми членами порядка получим соответственно

При нормальном падении на зеркало луч отражается в направлении, противоположном исходному, а частота меняется по закону

если зеркало движется в том же направлении, что и луч света. Если зеркало движется навстречу свету, то

Формулы (7.49) и (7.50) допускают простое истолкование Отраженный свет можно представлять себе идущим от мнимого источника, расположенного за зеркалом, причем скорость этого мнимого источника равна Поэтому, если заменить мнимый источник реальным, с той же собственной частотой изменение частоты согласно (7.49) или (7.50) будет просто соответствовать эффекту Доплера для этого источника.

Рассмотренные случаи отражения света от движущегося зеркала представляют собой частные случаи общей задачи об электромагнитных явлениях на движущейся границе, разделяющей две среды.