§ 3.3. Относительность промежутков времени между событиями.

Допустим, что в некоторой точке системы К наступили два события в моменты времени . Промежуток времени, разделяющий эти события, может быть отсчитаи по часам, находящимся в этой точке. По определению промежуток времени между событиями, наступившими в одной и той же точке некоторой системы отсчета, отсчитанный по одним часам этой системы, называется промежутком собственного времени между событиями. Обозначая промежуток собственного времени через получим для нашего случая

Определим теперь промежуток времепи между рассматриваемыми событиями в системе К. Согласно Это уже известный нам результат (2.2).

Однако, если события в системе К наступили в одной точке пространства, в любой другой системе К это уже не так. Действительно, пусть в К два события произошли в разное время, но в одной точке, т. е. по . Согласно (3.1) . Смысл последнего результата очевиден: все точки системы К движутся относительно К со скоростью V и — это просто смещение любой точки системы за рассматриваемый промежуток. Так как то

Таким образом, промежутки времени между одной и той же парой событий в различных ИСО оказываются различными. Наименьший интервал времени между событиями мы обнаружим в той системе отсчета, в которой эти события происходят в одной и той же точке, а следовательно, отмечаются одними и теми же часами, т. е. наименьшим является интервал собственного времени.

Промежуток времени между событиями с точки зрения системы К можно измерить еще и так. Точка системы К, в которой наступают два рассматриваемых события, движется со скоростью V относительно К. Если в системе К события наступили в точках то промежуток времени между событиями очевидпо, равен Но согласно (3.1) , откуда мы снова получаем

Известно прямое экспериментальное подтверждение выводов СТО об относительности промежутков времени. Легкие частицы (ц-мезоны) были обнаружены, с одной стороны, в лаборатории — в результате расщепления ядер, а с другой — в космических лучах. Время жизни (нремя полураспада) -мезонов, измеренное в лаборатории, оказалось равным около сек. Это время жизни можно считать собственным временем жизни, поскольку скорости лабораторных мезонов нерелятивистские (см. (3.9); под скоростью координатной системы К подразумевается скорость системы, связанной с мезоном). За время сек мезон распадается на другие частицы.

Известно, что -мезоны, паблюдаемые в космических лучах у Земли, образуются в верхних слоях атмосферы на высоте 5—6 км. за счет первичного космического излучения. Скорость возникших (х-мезонов сравнима со скоростью света — с этой скоростью они движутся к Земле. Согласпо (3.9) время полураспада мезона в лабораторной системе равно Для мезона и в лабораторной системе отсчета сек. За это время -мезон пройдет расстояние с . Если бы релятивистского эффекта относительности промежутков времепи не было, то мезон прошел бы всего около и мы не обнаружили бы -мезоны на уровне моря. Таким образом, только релятивистское преобразование интервалов времени позволяет объяснить наблюдаемый на Земле поток мезонов.

Прекрасной иллюстрацией относительности промежутков времени может служить эффект Доплера. Этот эффект состоит в том, что если источник света и наблюдатель (приемник) движутся относительно друг друга то частота света, определяемая

наблюдателем, отличается от той частоты, которую обнаружил бы наблюдатель, если бы он покоился относительно источника. Частоту света, определяемую наблюдателем, покоящимся относительно источника, естественно назвать собственной частотой света; обозначим ее через Все наши рассуждения относятся к вакууму.

Рассмотрим сначала случай, когда направление распространен света совпадает с направлением относительной скорости источника и наблюдателя (продольный эффект Доплера).

Рис. 3.5. К выводу формул для продольного доплер-эффекта: а) наблюдатель удаляете» от источника; б) наблюдатель приближается к источнику.

На рис. 3.5, а это соответствует распространению света вдоль оси При рассмотрении эффекта Доплера световую волну можно имитировать посылкой коротких импульсов из источника через промежуток времени (период) Т. Допустим теперь, что такие импульсы посылаются из начала системы К, т. е. из точки О. Любой наблюдатель, покоящийся в этой системе, обнаружит, что эти импульсы приходят к нему также через промежуток времени Т. Свяжем теперь наблюдателя с системой К. Пусть в момент времени, когда О и О совпадают из О посылается первый импульс, который, естественно, отметит и наблюдатель из О. Следующий импульс выходит из О через промежуток времени Т (по часам из К). Но в этот момент начало О находится от О уже на расстоянии Скорость света относительно О в системе К равна , поэтому световому лучу понадобится дополнительное время чтобы дойти до начала О. Таким образом, наблюдатель в О примет импульс через промежуток времени (по часам К)

Мы получили промежуток времени, разделяющий получение первого и второго сигнала наблюдателем в О, отсчитанный по часам системы К. В системе К прием сигнала происходит в одной точке О и переход к промежутку времени (собственному

промежутку) можно осуществить согласно , так что период Та для наблюдателя из О будет равен

Если перейти к частотам мы получим

Последний переход осуществляется проще всего так: числитель и знаменатель под корнем умножают на , в знаменателе в выражении пренебрегают членом тогда и получается правая часть (3.12). Эта формула годится для наблюдателя-удаляющегося от источника, — наблюдаемая частота меньше собственной.

Если наблюдатель приближается к источнику (на рис. 3.5, б точка О" должна быть левее точки О), а из К" посылаются сигналы, аналогичные рассуждения (источник и наблюдатель теперь сближаются; относительная скорость света с ведут к формулам и, наконец,

Формулы (3.12) и (3.13) (без приближенных значений) — точные релятивистские формулы для продольного доплер-эффекта. Они будут получены впоследствии (§ 7.2) на основе «строгих» релятивистских формул. Но приведенный вывод физически безупречен и вместе с тем ясно показывает, что эффект Доплера складывается из двух независимых частей: связан с непрерывно изменяющимся расстоянием между наблюдателем и источником; 2) он связан также с преобразованием промежутков времени между событиями при переходе от одной системы отсчета к другой. Первый фактор не имеет ни малейшего отношения к теории относительности. Продольный эффект Доплера качественно следует из классической теории, а соответствующая формула получается из (3.10). В формуле (3.10) «классически» пичего не надо менять, поскольку промежутки времени во всех системах отсчета одинаковы. Различие между классической формулой и релятивистской существенно лишь с точностью до Последнее приближенное равенство в (3.12) как раз и дает классическое выражепие, следующее из (3.10). Поскольку отношение В определяется относительной скоростью источника и наблюдателя, то, по крайней мере для макроскопических источников, отношение В очень мало и доплер-эффект определяется главпым образом изменением расстояния между источником и наблюдателем.

Однако существует случай, когда относительная скорость источника и наблюдателя отсутствует, хотя системы, в которых покоятся источник и наблюдатель, движутся относительно друг друга. Это — случай, если наблюдается движущийся источник в тот момент, когда его скорость перпендикулярна направлению наблюдения (лучу зрения) (рис. 3.6, а).

Рис. 3.6. К выводу формул для доплер-эффекта: а) поперечный эффект; б) общий случай

В момент наблюдения,изображенный на рис. 3.6, а, расстояние между источником и наблюдателем меняется. Следовательно, с классической точки зрения никакого доплер-эффекта быть не должно. Но с релятивистской точки зрения период посылки сигнала в К (обозначим его через это интервал собственного времени, так что должен быть пересчитан на время наблюдателя по формуле (3.9), т. е. откуда мы получаем для поперечного доплер-эффекта формулу

Это уже формула второго порядка но В. Поперечный эффект обнаружить гораздо сложнее, чем продольный, но он был все же обнаружен в Его обнаружение, как видно из предыдущих рассуждений, является прямым доказательством относительности интервала между событиями. Еще раз повторим, что само существование поперечного доплер-эффекта вытекает только из СТО. Нетрудно получить формулу эффекта Доплера, если рассматривается излучение под углом к направлению движения источпика (рис. 3.6, б). Если первый импульс посылается в точке А, а второй — в точке В, то разность хода параллельных лучей, идущих под углом к направлению скорости, равна Отсюда ясно, что для наблюдателя соответственно,

. Заметим,что в этой формуле измерены в одной системе отсчета. Еще раз убеждаемся, что в классической физике поперечного доплер-эффекта

Мы убедились в том, что если два события в некоторой системе отсчета наступают в одном месте (одноместны), то временпой интервал между ними определяется как промежуток собственного времепи (одними часами), а промежуток времени между этими же событиями в любой другой системе может быть найден согласно (3.9). Возпикает вопрос: всегда ли можно от промежутка времени, найденного в произвольной системе отсчета, перейти к собственному промежутку? Оказывается, что это можно сделать не всегда, а условие, при котором это становится возможным, будет найдено в § 3.4.

Введем теперь понятие собственного времени тела. Пусть тело движется равномерно и прямолинейно относительно системы отсчета К. С движущимся телом можно связать систему в этой системе тело покоится, и, следовательно, происходящие с ним (или на нем) события отмечаются одними часами. Эти часы отсчитывают собственное время в точке, где находится тело; можно сказать, что они отсчитывают собственное время тела. Формула (3.9) в этом случае просто показывает, что промежуток собственного времеии тела между событиями, происшедшими с телом или на теле, всегда меньше промежутка времени между этими же самыми событиями, отсчитанного по часам любой ИСО, относительно которой это тело движется. Не следует забывать при этом, что собственный промежуток времени отсчитывается одними часами, и промежуток времени в системе, относительно которой тело движется, — по крайпей мере, двумя. Это очепь существенно, потому что часто говорят, интерпретируя результат (3.9), что движущиеся часы идут медлепнее неподвижных. Такой способ выражения может только запутать дело. Ведь часы во всех ИСО идут совершенно одинаково. Различным оказывается отсчет промежутков времени между событиями. Но это естественно, поскольку часы, синхронизованные в одной ИСО, рассинхронизованы в другой.

Собственное время можно ввести и для ускоренно движущейся частицы. Рассмотрим для этого движение частицы за бесконечно малый промежуток времепи. Пусть скорость частицы в данный момент времени равна V. Рассмотрим теперь инерциальпую систему отсчета К, движущуюся со скоростью V. В зтой системе отсчета справедливо соотпошеиие Приближенно это соотношение выполняется и для мгновенно-сопутствующей частице системы отсчета К. Отличие системы К от мгновенно-сопутствующей системы К состоит в том, что система отсчета К

тбладает ускорением, а система К — нет, хотя они движутся в данный момент времени с одинаковой скоростью. Но чем меньше интервал времепи тем точнее годится соотношение для системы . Если проинтегрировать это выражение, мы получим точное выражение для которое но смыслу является суммарным «собственным» временем любых систем координат К.

Исходя из этих соображений, будем считать, что если по часам, связанным с сопутствующей телу системой отсчета, интервал между событиями, происшедшими с телом, оказался равпым то по часам другой ИСО, относительно которой тело движется, промежуток времени между этими же событиями окажется равным, согласно (3.9),

где

теперь уже — это скорость тела (а не системы отсчета), почему и введены обозначения Когда скорость тела переменна и задается ьависимостыо , связь между конечным промежутком времени и промежутком времени, отсчитанным по часам системы, относительно которой тело движется, получается интегрированием:

Что за величина стоит в левой части (3.16)? Ее можно, конечно, назвать собственным временем тела. Но как ее измерить? Ведь, строго говоря, соотношение (3.9) годится для часов в инерциальных системах отсчета, а если часы скреплены с произвольно движущимся телом, они испытывают ускорение. Ускорение, безусловно, влияет на ход часов (по-разному для часов различной конструкции; если вы не верите в это, бросьте ваши часы на пол). Но тогда трудно говорить об отсчетах времени с помощью таких часов. Разумная интерпретация формулы (3.16) заключается в том, что время — это суммарное время, измеренное многими сопутствующими телу инерциальными системами, или — это то же самое — время, отсчитанное часами, жестко связанными с телом, такими, на которые абсолютно не влияет ускорение тела.

Следует подчеркнуть, что различие показаний часов из различных инерциальных систем отсчета которое мы получили, не имеет ни малейшего отношения к какому-либо нарушению хода часов в той или иной системе. Как и в случае изменепия длины линеек, речь идет просто о разных способах измерения времени. Все

часы во всех системах отсчета идут идеально точно. Однако измерения промежутков времени между двумя событиями, производимые двумя наборами часов из разпых систем отсчета, по-своему синхронизованных в своей системе отсчета, приводят к полученному результату: промежуток собственного времени между двумя событиями оказывается всегда наименьшим.

Рассмотрим пример (вполне аналогичный примеру, приведенному в связи с изменением длины масштаба), показывающий, что замедление времени обусловлено различными способами его сравнения. Возьмем совершенно одинаковые часы: А в системе К и А в системе К (это могут быть атомы одинакового сорта). Пусть мы наблюдаем за часами А системы К, т. е. сравниваем часы А с последовательностью часов, синхронизоваиных с часами А. Тогда наблюдатели из К обнаружат, что часы А идут медленнее по сравнению с набором часов из Напротив, если следить за одними часами А системы К, то наблюдатели из системы К обнаружат, что часы А идут медленнее, чем набор часов из К. Противоречивы ли эти результаты? Нет. Мы ясно видим, что способы сравнения часов в первом и втором случаях различны. Всегда оказываются отстающими те единственные часы, которые сравниваются с разпыми часами другой системы отсчета. Такое удивительное положение оказывается неизбежным. В основе теории относительности лежит равноправие всех , когда возникают относительные величины, они возникают одинаково во всех ИСО.