§ 5.6. Масса покоя системы. Энергия связи.

До сих пор рассматривалась механика «частицы», т. е. поведение некоторого единого целого. Однако «элементарпость» (неразложимость) частицы нигде фактически не предполагалась, и поэтому можно перенести все выводы на сложные системы, состоящие из «подсистем».

Масса покоя М сложной системы определяется согласно общей формуле (5.50) так:

где теперь уже Е — полная энергия системы, ее полный импульс.

Ограничимся пока простейшим случаем систем, состоящих из отдельных частиц. Допустим сначала, что частицы не взаимодействуют между собой. Тогда энергия системы — это просто сумма энергий частиц, образующих систему:

Аддитивность энергии как раз и характеризует отсутствие взаимодействия. Полный импульс системы всегда векторно складывается из импульсов отдельных частиц, т. е. аддитивен всегда:

Масса покоя системы в этом случае может быть записана в виде

Чтобы пайти, как связана масса покоя системы с массами покоя частиц, образующих систему, проще всего перейти в систему отсчета, в которой полный импульс системы равен нулю: . Тогда из (5.63) получим

Мы видим, что масса покоя системы выражается как сумма эпергий отдельных частиц (деленная на . Но энергия отдельной частицы, согласно (5.44), может быть всегда представлена виде суммы энергии покоя и кинетической энергии:

Тогда по (5.63) мы получим

Из (5.66) вытекает существенный результат: масса нокоя системы превосходит сумму масс покоя составляющих ее отдельных частиц на величину полной кинетической энергии этих частиц (деленную на вычисленную в системе отсчета, где полный импульс системы равен нулю.

Таким образом, мы приходим к выводу, что в релятивистской механике даже для системы из невзаимодействующих частиц масса покоя не является аддитивной величипой. Такое свойство массы пепривычно с точки зрения классической механики. Возникает соблазн ввести иную массу отдельных частиц таким образом, чтобы масса покоя системы складывалась бы из этих новых масс, которые называют иногда «релятивистскими». Нетрудно понять, как это можно сделать. В системе отсчета, где согласно (5.64) имеем

Следовательно, можно написать

если назвать величину релятивистской массой. Так мы нриобретаем аддитивность (которая совсем не обязательна), но вместе с ней открываем дорогу различным недоразумениям.

Действительно, введение релятивистской массы уже для одной частицы создает иллюзию того, что увеличение энергии пли «релятивистской массы» частицы с ростом ее скорости (или импульса) связано с изменениями внутренней структуры частицы. По этого, конечно, нет и в помине (можно, не трогая частицу, просто перейти в другую систему отсчета). На самом деле рост энергии с увеличением скорости — следствие особых свойств 4-пространства времени, находящих свое отражение в преобразованиях Лоренца.

С четырехмерной точки зрения термип «масса» относится к инвариантной абсолютной величине 4-нектора энергии-импульса. Вводя релятивистскую массу, мы фактически применяем термин «масса» (с точностью до множителя) к временной компоненте 4-вектора энергии-импульса, а это, как мы знаем, энергия. Но энергия и масса покоя, которой мы хотим пользоваться, — существенно разные физические понятия.

Энергия — относительная величина; она зависит от того, в какой ИСО рассматривается частица или система частиц. Масса покоя остается одной и той же всех ИСО — это абсолютная величина 4-вектора. Временная компонента 4-вектора (энергия) совпадает с его абсолютной величиной (массой покоя) лишь в том случае, когда пространственные компоненты этого 4-вектора равны нулю (это значит, что либо импульс частицы, либо полный импульс системы частиц равен нулю). И лишь в этом случае, когда величина энергии совпадает с энергией покоя, энергия пропорциональна массе покоя (с постоянным коэффициентом

Таким образом, можно придать четкий четырехмерный смысл импульсу, энергии и массе покоя частицы (и системы), считая две первые величины составляющими 4-вектора энергии-импульса, а последнюю величину — абсолютной величиной этого же 4-вектора. С методической точки зрения этот вопрос обсуждается в Дополпении IV.

Остановимся теперь на системе, образованной взаимодействующими частицами. Формула (5.63) остается, конечно, в силе. Однако вместо (5.61) нужно написать

где через обозначена энергия взаимодействия частиц. Эта энергия определяется как работа, необходимая для того, чтобы разделить систему на «исходные», невзаимодействующие части. Для устойчивой системы поскольку в «равновесном, устойчивом» состоянии должен быть минимум эпергии. Для такой системы величина называется энергией связи. Хотя выписать явное аналитическое выражение для энергии взаимодействия часто бывает затруднительно (см. § 5.8), оказывается возможным

оценить ее величину. Из соотношения (5.60) в системе отсчета, где нолучим

или, иначе,

где мы воспользовались соотношением справедливым для каждой отдельной частицы.

Если соблюдено условие т. е. если суммарная релятивистская кинетическая энергия частиц невелика, то

Из (5.72) видно, что в системе взаимодействующих частиц гхегда отлична от нуля раэпость

которую припято называть дефектом масс. Когда нас интересует устойчивая система, то По дефекту масс можно вычислить энергию связи:

Такой подсчет имеет смысл лишь в том случае, когда энергии связи значительны. Именно такой случай мы имеем в атомных ядрах. Известно, что атомные ядра очень устойчивы, — это и говорит об их большой энергии связи. Атомные ядра состоят из протонов и нейтронов, причем число протонов и нейтронов, входящих в данное ядро, вполне определенно. Можно экспериментально определить массу протона и нейтрона в свободном состоянии (вне ядра). Также экспериментально можно определить и массу любого атомного ядра. Составляя разность между суммарной массой свободных протопов и нейтронов, образующих ядро, и измеренной массой ядра, находят дефект масс и согласно (5.74) — энергию связи. Именно таким способом определяют энергии связи ядер в атомпой физике.

Выпишем отдельно соотношения для ультрарелятивистских частиц . В этом случае для отдельной частицы (см. (5.51))

и, следовательно, из (5.51) будем иметь . Однако уже для двух (и более) частиц из (5.63) получим (поскольку

Это значит, что масса покоя системы, состоящей из частиц с массой покоя, равной нулю, вовсе равна нулю. Но в этом пет ничего удивительного, поскольку массы покоя складываются!

В заключение два слова о «сложных» подсистемах. Определяя массу покоя сложной системы согласно (5.70) или (5.64), нужно в качестве энергии брать полную энергию системы. Допустим, что в систему входит также и электромагнитное поле. Обозначив энергию электромагнитного поля через из (5.70) получим

Отсюда видно, что энергия электромагнитного поля, как и всякая энергия, вносит свой вклад в массу покоя системы.