§ 2.4. Относительность синхронизации часов двух инерциальных систем отсчета. Непосредственный вывод преобразований Лоренца.

До сих пор рассматривалась синхропизация набора часов данной инерциальной системы. По все инерциалыше системы равноправны и любое событие может отмечаться наблюдателем из любой инерциальной системы. Координаты события отмечаются наблюдателем каждой системы по своей координатной сетке. Время наступления события отмечается набором часов каждой инерциальной системы по часам, находящимся в момент наступления события в той точке пространства, где наступило событие. Образно говоря, все пространство заполпепо движущимися часами разных систем отсчета, и мгновенная вспышка света в данном месте пространства, осветив циферблаты всех часов, находящихся в данной точке, позволяет определить время наступления этого события (вспышки) но всех тех системах отсчета, часы которых были в этой точке в момент вспышки. Чтобы показать, что здесь происходит, достаточно рассмотреть две системы

Вопрос заключается в том, что показывают часы из двух систем — системы К и системы К — оказавшиеся в одной точке. Конечно, если мы хотим сопоставлять показания часов из разных систем (не забудем, что в каждой из систем все часы синхронизованы), между показаниями соответствующих наборов часов должна быть установлена некоторая связь. Без такой связи проводить сравнение бессмысленно.

Оказывается, все, что можно сделать, — это поставить на одинаковый отсчет лить двое часов — одни из К, другие из К — оказавшиеся в данный момент времени вместе. Поставив эту пару часов на одинаковый отсчет, мы — в силу синхронизации в каждой системе — переводим соответственно и показания всех остальных часов в каждой системе. При этом оказывается, что во всех остальных точках пространства находящиеся там часы из К и К показывают разное время. Это — очень существенный результат: часы, синхронизованные в одной системе отсчета, рассинхронизованы с точки зрения любой другой инерциальной системы отсчета. Другими словами, если в системе К одновременно зафиксировать показания всех часов системы К, то окажется, что часы в системе К показывают разное время. Мы получим сейчас соответствующие формулы.

Обычно связь между показаниями наборов синхронизованных часов в К и К устанавливают следующим образом. Когда начала коордипат систем совпадают, то часы из К и К, находящиеся в общем начале отсчета, ставят на деления Как мы увидим ниже, из этого вовсе не следует, что во всех остальных точках пространства часы из К и К показывают одпо и то же время.

Нам понадобится формула преобразования координат точек пространства при переходе от системы К к системе К. Когда пачала коордипат совпадают, то координатная сетка системы К с точки зрения системы К сжата в раз (предполагается, что единичные собственные масштабы на осях координат одинаковые как в К, так и в К). Следовательно, в начальпый момент времепи координаты точки связаны соотношением (см. (2.4))

К моменту времени вся координатпая сетка системы К сместится как целое на расстояние и потому в этот момент мы получим Отсюда, если в момент коордипата точки в системе К была равна х, то в системе К ее координата х будет

По осям у, z координатная сетка остается неизменной (§ 2.3), поэтому

Теперь нас интересуют показания часов из системы К, находящихся в точке х в момент времепи обозначим эти показания через Эта величипа может быть найдена многими способами, но сейчас мы хотим использовать для ее определения процедуру синхронизации часов.

Поступим так: когда начала координат О и О совпадают, а показания находящихся там двух часов (одних из К, других из К) равны нулю, вдоль общей оси в направлении возрастания посылается световой сигнал. Далее рассматривается момент времепи по часам системы К. В этот момент сигнал приходит в точку системы К. Приход сигнала в точку в момент — это событие, координаты которого в К будут . В системе К то же самое событие будет иметь координаты ), причем согласно второму постулату Но соотношение (2.5) годится для любых событий, и поэтому, подставляя в левую и правую части и сокращая на с, по чучим

Это и означает, что часы из набора часов системы К, оказавшиеся в точке показывают время 2, отнюдь не совпадающее со временем, которое показывают в этой же точке часы из К (они показывают время Это и означает различный отсчет времени наступления события, о котором уже шла речь в § 2.3.

Теперь мы можем пайти показание еще одних часов из системы в момент времепи . В момент времени начало отсчета О окажется в точке вместе с началом в эту точку переместятся опорные часы системы Они отсчитают во время перемещения промежуток собственного времени По часам системы К промежуток времени между тем, когда начало О совпадало с О, и тем, когда О очутилось в точке равен Согласно (2.2)

Итак (рис. 2.4), мы пришли к выводу, что в момент (по часам системы К. т. е. одновременно в К) часы из К, находящиеся в разных точках системы К, показывают разное время:

И это несмотря на то, что все часы из набора К синхронизованы в своей системе. Но расчет обнаружил, что они рассинхронизованы в системе К. Мы получили также, что рассинхронизация зависит от того, в какой точке системы К сравниваются часы. Найдем разность показаний часов из К в точках

Эта разность показаний набегает на расстоянии . Если считать, что рассинхронизация непрерывно зависит от расстояния вдоль оси х, то можно пайти рассинхронизацию на единицу длины:

Из (2.8) видно, что рассинхронизация, отнесенная к единице длины, не зависит от выбора момента времени а определяется исключительно расстоянием между часами из К отсчитанным в системе К; теперь уже для произвольной пары точек можно записать

Рис. 2.4. Рассинхронизация часов системы К с точки зрешш системы К. Когда начал» систем О и О совпали, двое часов из систем К и оказашпяеся в этой точке, ставятся на показания . В момент времени (по часам из К) можно найти показания часов из К в точках

Как уже указывалось, наборы синхронизованных часов систем К и К согласуются между собой тем, что в момент совпадения координатных систем К и К в точке часы из К и К ставятся на пулевой отсчет, т. е. часам, находящимся в этой точке, приписываются значения и Полагая получим из последнего равенства

Из формулы (2.9) видно, что покажут в момент времени (по часам из К) часы из системы К, находящиеся в точке х. Их показания представлены графически на рис. 2.5. Слева от начала отсчета часы из К все больше и больше опережают часы из К, а справа — отстают от них.

Теперь уже нетрудно выяспить, что покажут часы из системы К, находящиеся в точке х в момент времепи Мы воспользуемся еще раз тем обстоятельством, что разпость показаний двух часов из К не зависит от выбора момента времени . В точку х в момент

придут те часы из К, которые в момент находились в точке , согласно (2.9), отставали от опорных часов на промежуток времени На этот промежуток времени эти часы будут отставать от опорных часов всегда. Но в момент опорные часы покажут время (см. (2.4)), а часы в точке х — время

Рис. 2.5. Показания часов системы К в момент времени (по часам из К) в точках с координатами х.

Формулы (2.5), (2.6), (2.10) и являются преобразованиями Лорепца. Конечно, приведенный вывод (2.10) может показаться громоздким и даже излишним. Действительно, используя рассуждения, приведшие нас к соотношению (2.5), но применительно к переходу от К к К, мы получим

Разрешая (2.11) относительно и заменяя х согласно (2.5), мы действительно сразу придем к (2.10):

Показав относительность синхронизации часов, мы выяснили физический смысл различного отсчета времени в различных инерциальных системах. Кроме того, понимание «рассинхронизации часов» позволяет избежать многих недоуменных вопросов. В заключение обратим внимание на то, что точка, в которой показания часов из К и К совпадают, все время перемещается вдоль положительной оси х со скоростью, которую можно получить из формулы (2.10), положив в ней