§ 6.12. Тензор энергии-импульса-натяжений электромагнитного поля в среде. Тепзор Минковского и тензор Абрагама.

Интерес к тензору энергии-импульса-натяжений в среде вызван в первую очередь тем, что этот тензор связан с импульсом электромагнитного поля в среде. Эта последняя величина имеет

прямое отношение к величинам, наблюдаемым непосредственно на опыте (например, к световому давлению). Однако этот тензор в среде не определяется однозначно и по поводу его «правильного вида» до сих пор ведется дискуссия.

Найдем общий вид тензора энергии-импульса в однородной изотропной среде. В § 6.11 было показано, что в однородной изотропной среде общий вид компонент тензора энергии-импульса не отличается от случая вакуума; в обоих случаях (см. (6.146))

Однако коэффициенты пропорциональности между пространственными и временными составляющими в среде различны (см. (6.140) и (6.141)), и тензор определяемый согласно (6.168), в отличие от тензора (6.149), оказывается уже несимметричным. Несимметричность возникает из-за временных составляющих тензора; пространственные составляющие, по крайней мерс в изотропной среде, симметричны. Действительно, легко убедиться в том, что пространственные составляющие тензора Т в среде отличаются от пространственных составляющих в вакууме только значениями Так, например,

Это выражение совпадает со значением но если в (6.147) входили то в эту формулу входят Точно так же мы найдем, что

Однако если

то

Таким образом, тензор эиергии-импульса-натяжений в однородной изотропной среде, получаемый непосредственным преобразованием 4-силы, уже несимметричен. Он называется тензором

Минковского, и его компоненты имеют вид

В (6.169) введен показатель преломления Соответствующая тензору (6.169) плотность импульса (компоненты ) оказывается равпой

Мы поставили у плотности импульса также индекс чтобы подчеркнуть, что эта плотность соответствует тензору Минковского. Плотность импульса поля в среде (6.170) в раз отличается от (6.133).

Часто предлагают сохранить для плотпости импульса поля в среде пыражение (6.133). Этим самым, конечно, мы делим суммарный импульс на импульс поля и импульс самой среды. Но выделить плотность импульса поля в форме (6.133) можно, лишь использовав иной тензор энергии-импульса, отличный от тензора Минковского. Важпость сохранения соотношения (6.133) состоит еще и в том, что оно дает наиболее общую формулировку закона инерции эпергии. Так как поток энергии описывается компонентами тензора энергии-импульса, а плотность импульса — компонентами , соотношение (6.133) озпачает симметрию тензора. Таким образом, нам следует построить новый симметричный тензор, который удовлетворял бы следующим условиям: компоненты причем соблюдалось бы соотношение (6.133). Трехмерный тензор натяжений Та должеп совпадать с трехмерным тензором натяжений Максвелла (6.128). Такой тензор был предложен Абрагамом; он имеет вид

В силу того, что и определения (6.133) этот тензор симметричен. Но введение тензора Абрагама влечет за собой появление объемной силы, действующей на среду. Эта сила носит название силы Абрагама. Чтобы найти ее величину, вспомпим, что компопенты плотности лоренцевой силы связаны с тензором

энергии-импульса Минковского соотношением

Именно так был получен тензор Мипковского.

Из соотношения сразу же получается, что

Раскрывая сумму в правой части и меняя местами члены равенства, получим (см. (6.169))

где обозначена плотность силы Лоренца.

Развернем теперь выражение имея в виду (6.171):

Во втором звене равенства (6.175) учтено, что тензор натяжений Максвелла один и тот же как в тензоре Минковского, так и в тензоре Абрагама; третье звено (6.175) — это тождественная переписка второго звена. Но теперь уже два первых члена в последнем звене (6.175) можно заменить согласно (6.174), и тогда мы получим

В правой части соотношения (6.176) появился член представляющий собой производную от плотности импульса; по второму закону Иыотопа производная от плотности импульса по времени — это плотность силы:

В изотропной среде

Плотность силы (6.177) и (6.178) называют плотностью силы Абрагама.

Тензоры Минковского и Абрагама дают различные выражения для плотности импульса электромагнитного ноля. Выпишем соответствующие выражения для плотности импульса плоской

электромагнитной волны. Для плоской электромагнитной волны в изотропном однородном диэлектрике связь между величипой вектора Пойнтинга фазовой скоростью монохроматической волны и плотностью энергии волны дается простым соотношением:

Для плотности импульса получим соответственно из (6.170) и (6.171):

Будем считать, что энергия электромагнитного поля квантуется, т. е. что где — число квантов в единице объема. Тогда для импульса квапта в среде мы получим согласно (6.181) и (6.182):

Какое из этих двух выражений «правильно»? Процедура вторичного квантования электромагнитного ноля в веществе приводит к выражению (6.183). Допустим, что импульс кванта в среде определяется выражением

где — единичный вектор к направлении распространения волны, а 4-вектор энергии-импульса квапта имеет вид

Если воспользоваться (6.186), можно получить верное выражение для условия излучения Вавилова — Черенкова (см. гл. 7). Казалось бы, это обстоятельство говорит в пользу (6.186) и тензора Минковского. Однако осмотрительное использование любого из тензоров дает правильный результат. Дело в том, что оба тензора удовлетворяют соотношению (6.127), являющемуся следствием уравнений поля. Важно знать, как определяется импульс электромагнитного поля в веществе. Разбить полный импульс поля на часть, относящуюся только к веществу, и только к полю, в общем случае невозможно. Но именно это пытаются делать, вводя импульс Абрагама. При переходе световой волны вакуума в среду импульс переносится с проходящей в среду волной не полностью; часть импульса передается самой среде. Там, где нужно учитывать полный переданный импульс, нужно пользоваться тензором Минковского; когда речь идет об импульсе, связанном с излучением

в среде, нужно использовать тензор Абрагама. Выражение (6.185) для импульса фотона дает правильный ответ при рассмотрении эффекта Вавилова — Чероккопа (см. гл. 7) потому, что в этом случае важен суммарный импульс, передаваемый среде черепковским электроном. Суммарный импульс, переданный фотону в среде, как раз и равен Неудивительно, что квантование электромагнитного поля в диэлектриках приводит к выражению (6.185) для импульса. Этовыражепие представляет собой просто суммарный импульс электромагнитного поля, причем этот импульс связан и с полом, и с веществом (см. § 7.7).

Рис. 6.7. Экспериментальное наблюдение силы Абрагама.

Что касается силы, действующей на вещество, то опа связана силой Абрагама и, естественно, с тензором Абрагама. В 1975 г. была предпринята попытка измерить силу Абрагама, которая, по-видимому, привела к успешному результату.

Схема опыта приведена на рис. 6.7 Диск, изготовленный из титаната бария имеет в центре небольшое отверстие. Оба края диска покрыты алюминием; таким образом, он представляет собой цилиндрический кондепсатор. Диск подвешен на длинной вольфрамовой нити, так что он может совершать крутильные колебания, находясь между полюсами электромагнита, создающего постоянное магнитное поле . К внутренней обкладке диска прикладывается переменное наиряжепие с максимумом в 150 в, внешняя обкладка заземлена тонкой золотой проволочкой, не влияющей на колебания диска. Напряжение прикладывается в фазе с собственными колебаниями диска.

Силу Абрагама можно записать еще и так:

где

и учтено, что магнитное поле постоянно Для титаната бария поэтому

последнее равенство вытекает из того, что в однородной изотропной среде

Физический смысл «силы Абрагама» в рассматриваемом частном случае очевиден. Р — это часть тока смещения, обусловленная движением связанных зарядов. По существу это просто сила Ампера. Нетрудно установить, что эта сила вызывает крутильный момент (электрическое поле направлено радиально). Существенно, конечно, что никакие другие силы, связанные с наличием электромагнитного поля, крутильпого момента не дают.

По утверждению авторов эксперимента, наблюдаемая раскачка диска соответствует расчету, исходящему из наличия силы Абрагама. Еще раз повторим, что этот экспериментальный результат — весьма интересный сам по себе — отнюдь не «выбирает» между тензорами (6.169) и (6.171). Некоторые дополнительные замечания в связи с выбором выражения для импульса фотона в среде можно найти в § 7.7.