§ 4.3. 4-векторы и 4-тензоры.

В точности так же, как в трехмерном пространстве, координаты точки в 4-пространстве можно рассматривать как компоненты 4-радиус-вектора, проведенпого из начала координатпой системы в данную точку. Все 4-векторы будут обозначаться стрелкой над буквой, в частности, 4-радиус-вектор мы будем обозначать Для удобства читателей мы будем вести параллельную запись основных соотношений, используя как комплексную запись, так и запись через действительные переменные. Комплексная запись упрощает изложение электродинамики, а использование переменных в действительной форме готовит нас к формализму общей теории относительности, где введение комплексной координаты ничего дает. Большинство формул будет записано в симметричпых обозначениях, причем запись координат 4-векторов в две строки сразу позволяет вспомнить смысл введенных обозначений. Итак, мы вводим 4-радиус-вектор одним из двух способов:

Индексы у координат вектора в (4.76) стоят вверху не зря. Использование действительных значений координат требует различия между ко- и контравариантными компонентами вектора (см. Приложение I, § 8), и у контравариантпых компонент индекс стоит сверху. Квадрат иптервала между событиями запишется соответственно в виде

Отметим, что знаки иптервалов, выписанных в (4.8а) и (4.86), противоположны. Так как может принимать как отрицательные, так и положительные значения, то выбор знаков для по существу, не имеет значения.

Преобразования Лоренца — это преобразования компонент 4-радиус-вектора, т. е. координат события. Мы снова их выпишем:

Но 4-радиус-вектор — это такой же 4-вектор, как и все остальные. Поэтому, если в системе отсчета К заданы 4-векторы

то в системе компоненты этих же векторов определятся по формулам

Выражения (4.8а, б) представляют собой квадрат бесконечно малого вектора Следовательно, квадрат модуля 4-вектора нужно определить так (это инвариантная величина):

Конечно, формулы (4.11а) и (4.116) дают разные знаки для инвариантной величины Но это так же несущественно, как и при определении знака интервала (см. замечание после формул (4.8)). Однако нужно иметь в виду, что разные знаки при выборе интервала меняют условия, определяющие «временипо-добные» и «пространственноподобпые» интервалы и векторы (в литературе в этом отношении едипства нет).

В (4.116) мы ввели ковариантные координаты по формулам Приложения I, § 8: . Нетрудно видеть, что

Как и в трехмерном пространстве, нам придется иметь дело с тензорами. Проще всего закон преобразования компонент тензора получается как закон преобразования произведении компонент двух 4-некторов. Формулы преобразования компонент для 4-векторов А и В можно записать в симметричных обозначениях (см. (2.40а, б)):

Перемножая левые и правые части этих соотношений, сразу же получаем правила преобразования произведений компонент векторов:

Таким образом, мы получаем общий закон преобразования тензоров

Формула (4.15), где существенно различие между ко- и контравариантными координатами, представляет собой закон преобразования дважды контрвариантного тензора.

В 4-пространстве следует строить измеряемые физические величины так, чтобы они обладали вполне определенными свойствами преобразования при переходе от одной к другой, т. е. при преобразованиях Лоренца. Но при преобразовании координат (в мире Минковского речь идет о всех четырех координатах) определенными свойствами преобразования обладают только тензорные величины, причем тензоры различной валентности (ранга) преобразуются но разным законам. Таким образом, все физические величины, которым мы приписываем реальный смысл, должны быть тензорами: либо скалярами (т. е. тензорами нулевой валентности), либо 4-векторами (т. е. тепэорами первой валентности), либо, наконец, тензорами валентности ваше первой. Мы увидим,

что электромагнитное поле образует тензор второго ранга (см. гл. 6). Переход от привычных трехмерных величин к четырехмерным (безусловно, необходимым, когда речь идет о преобразованиях Лоренца) не всегда прост и осуществляется в разных случаях по-разному. Часто привычный трехмерный вектор удается — с некоторыми видоизменениями — представить как пространственную часть 4-вектора. Выражение для его четвертой компоненты оказывается несколько неожиданным, по при ближайшем рассмотрении вполне естественным. В этом нет ничего удивительного, поскольку в не релятивистском пределе мы почти всегда от релятивистских соотношений возвращаемся к классическим.

Многочисленные примеры построепия четырехмерных векторов и тензоров можно найти в гл. 5—7.