§ 6. Некоторые сведения об определителях (детерминантах). Дуальные тензоры.

I. Расположим элемептов, обозначенных символом а, где принимают все значения от 1 до в, в виде квадратной схемы. Пусть первый индекс в символе обозначает номер строки, а второй индекс к — номер столбца, в котором расположен олемепт. Таким образом, мы получим квадратную матрицу, образованную элементами

Из этой матрицы можно образовать определитель

который подразумевает определенное действие пад элементами — образование суммы членов из элементов Эту сумму можно получить следующим образом. Возьмем произведение элементов, в которое входят элементы разных строк, например строк

или произведение элементов, в которое входят элементы разных столбцов, папример

где значение индексов мы сейчас определим. Чтобы получить значение определителя, составим алгебраическую сумму членов вида или отличающихся друг от друга тем, что индексы образуют в каждом из членов суммы какую-то перестановку естественного расположения чисел Это означает, что в каждом члепе суммы индексы всегда имеют разные значения. Сумма берется но всем перестановкам чисел число которых равно

Каждому члену суммы приписывается зпак или в зависимости от того, четным или почетным числом парпых перестановок (транспозиций) элемептов можпо получить естественного ряда чисел данную перестановку в . Парпая транспозиция состоит, например, в переходе от перестановки к перестановке 13 2 4, где произведен обмен местами цифр 2 и 3. Число необходимых транспозиций для перехода от естественного ряда чисел к данной перестановке обозначается буквой Таким образом, но определению детерминат порядка раскрывается

следующим образом:

где сумма берется по всем перестановкам индексов принимающих различные значения от 1 до Две последние строки равенства отражают одно из основных свойств определителя — равноправие строк и столбцов. Конечно, в выражениях типа не обязательно брать соответственно первые или вторые ипдексы, расположенные в натуральном порядке. Но тогда, чтобы привести копкретпые члены к каноническому виду (П.1.45) или (П.1.46), пришлось бы нереобовначить индексы . Такое переобозначение свелось бык транспозициям этих индексов, а в самом определителе означало бы перестановку строк столбцов. Отсюда яспо, что перестановка нечетного числа строк (или столбцов) меняет знак определителя, а перестановка четного числа строк (столбцов) оставляет значение определителя неизменным. Можно сказать, что если зафиксировать определенное значение индексов и составить сумму членов но перестановкам индексов с соответствующими знаками, т. е.

то эта величина будет равна значению в зависимости от того, четным или нечетным числом трапспозиций получаетсн перестановка к из естественной перестановки

Покажем, как записывается определитель третьего норядка

2. Способ вычисления определителей. Выберем в сумме (П.1.47) все члены, содержащие некоторый элемент объединим их и вынесем этот элемент в качестве общего множителя. Получившийся коэффициент при элементе обозначим через Выражение т. е. коэффициент данного элемепта в выражении определителя, называется адъюиктой или алгебраическим дополнением элемента Адъюнкта данного элемента вычисляется по простому правилу. Из определителя вычеркиваются та строка и тот столбец, в которых находится элемент адъюнкта которого А ищется. Вычеркпув строку и столбец, мы получим определитель порядка который пазыиается минором элемента

Адъюнкта элемента отличается от минора , быть может, только зпаком:

Каждому элемепту можпо сопоставить свою адъюнкту, одпако даппый элемент входит отнюдь не во все члены суммы (П.1.47). Можпо выбрать определенное число элементов определителя, которые вместе со с и о ими адъюнктами позволяют найти значение определителя. Именно, существует теорема, что определитель можпо разложить по элементам любой строки или любого столбца следующим образом:

причем здесь суммирования по к нет, а само к может иметь любое значение от 1 до Если же составить сумму произведений элементов любой строки (или любого столбца) на миноры другой строки (или другого столбца), то всегда окажется, что эта сумма равна нулю:

Обе последние формулы объединяются в одну:

Вычислим в качестве примера определитель матрицы преобразований Лоренца, разложив его по элементам первой строки:

Читатель легко убедится сам, что, умножая элементы первой строки на адъюнкты элементов других строк, он получит нуль.

3. Введем совершенно антисимметричный единичный тензор -го ранга (валентности). Совершенно антисимметричным едипичным тензором ранга называется тензор компоненты которого меняют знак при перестановке любых двух индексов, а все отличные от пуля компоненты равны либо либо —1. Из антисимметричности тензора следует, что любая компопепта тензора которой два индекса равны, обращается в пуль (перестановка двух таких индексов меняет знак компоненты из условия антисимметричности, но вместе с тем мы получаем ту же самую компоненту; по только нуль равен сам себе с обратным зпаком). Таким образом, у тензора отличны от нуля лишь те компоненты, у которых все индексы различны. Пусть тогда отличные от нуля компоненты равны если перестановка получена из перестановки четным числом транспозиций. Если число таких транснозиций в перестановке нечетное, то компонента бац... равна —1. Используя совершенно антисимметричный единичный тензор, можно переписать выражение для

определителя следующим образом:

где теперь уже подразумевается суммирование по парам индексов .

В частности, для определителя, соответствующего матрице Лоренца, мы можем паписать

4. Теперь нас уже будет интересовать 4-нространство СТО. Прежде всего следует отметить, что мы определили совершенно антисимметричный единичный тензор но вовсе не доказали, что это тензор. Мы должны убедиться в том, что в любой ИСО (т. е. при преобразованиях Лоренца) компоненты этого тензора имеют одни и те же значения. Однако сделать это совсем носложпо. По правилу преобразования компонент тензора

Однако согласпо сказанному в величина справа равна т. е. в зависимости от того, каким числом транспозиций получается перестановка из естественной. А это и означает, что имеет одинаковые компоненты в любой ИСО. Не меняют свои значения компоненты этого тензора и при переходе от левой системы координат к правой (т. е. при изменении знака у одной или трех пространственных координат). Компоненты тензора в этом случае должны были бы переменить свой знак, как это ясно из Поэтому является не тензором, а псевдотензором; его компоненты ведут себя при изменении знака координат (отражениях) иначе, чем тензоры, а при всех остальных преобразованиях их поведение совпадает с поведением компонент любого тензора.

5. Векторное и смешанное произведения векторов в трехмерном пространстве. вопросы обсуждаются для того, чтобы иметь наглядные аналогии при рассмотрении некоторых величип в 4-пространстве СТО.

Рассмотрим три единичных вектора ортогональпой декартовой системы координат — векторы Составим векторное произведение любой пары этих векторов мы получим при этом третий вектор со знаком плюс или мипус в зависимости от порядка сомножителей в векторном произведении. Нетрудно записать векторное нроизведепие с помощью совершенно аптисимметричного единичного тензора третьей валентности:

Теперь уже легко записать и векторное произиедеппе двух векторов действительно,

Из видно, что при стоят коэффициенты, образованные произведениями компонент вектора и свернутые с тензором Перепишем

Здесь в третьем звене равенства добавлен второй член, равный первому, по у которого поменялись местами немые индексы . В третьем звене учтено, что . В четвертом же звене выпесепо за скобки. Для антисимметричного тензора, образовавшегося в круглых скобках, введено

обозначение Таким образом, векторное произведение представляет собой вектор, компоненты которого получаются из антисимметричного тензора по формулам

Говорят, что вектор дуален антисимметричному тензору Это означает, что вектор С ортогонален двум векторам определяющим двумерную плоскость. Ортогональность обнаруживается аналитически сразу же:

Равенство нулю последнего вьгражепия следует из того, что и уменьшаемое и вычитаемое представляет собой опрсделитоли с двумя равными строками. А такие определители равны нулю. Аналогично доказывается, что По своему геометрическому смыслу модуль вектора С равен площади параллелограмма, построенного на векторах

Смешанное произведоние трех векторов обозначается через и определяется следующим образом — символ Кропекера

Геометрически» смысл смешанного произведения трех векторов — объем параллелепипеда, построенного на этих векторах. Этот объем получается со злаком или в зависимости от того, в каком порядке входят векторы в смешанное произведение.

6. Дуальные тензоры. Пусть в 4-пространстве заданы два 4-вектора Тогда проекции площади параллелограмма, на координатные плоскости определяются антисимметричным тензором . В 4-пространстве каждой площадке можно сопоставить другую нормальную площадку такую, что все прямые, лежащие в пей, нормальны всем прямым в исходной площадке. Если площадка ортогональная к имеет равную площадь с то площадка называется дуальной относительно Можно показать, что

С помощью этой формулы можно сопоставить любому антисимметричному тензору дуальный ему. Дуальпыи тензор в известном смысле равноправен исходному тензору Мы видели, что вторая группа уравнений Максвелла проще записывается через дуальный тензор Сумма произведений компонент антисимметричного тензора на их дуальные дополнения дает псовдоскаляр

В этих равенствах использованы определение формулы преобразования тензора свойства коэффициентов матрицы Лорепца Легко убедиться также, что также является инвариантом:

Эти два инварианта и были использованы нами в § 6.5.