§ 3.6. Преобразование абсолютной величины и направления скорости частицы.

Из формул преобразования компонент скорости (3.26) можно получить выражения, определяющие абсолютную величину скорости и ее направление и системе К, зная компоненты скорости в К. Прежде всего, очевидно, что если в К компонента скорости то и в К компонента Это значит, что если в системе К движение происходит в плоскости то и в К движение будет происходить в плоскости Выберем оси так, чтобы скорость частицы лежала в К в плоскости Тогда ясно, что если — угол, составляемый скоростью с осью то Угол, составляемый скоростью и с осыо х в системе К, мы обозначим через Ф. Следовательно, . Найдем формулы, связывающие и Перепишем дне первые формулы (3.26), выразив компоненты и через и

Разделив вторую формулу первую, мы получим выражение для

Чтобы найти выражение для абсолютной величипы скорости, достаточно возвести в квадрат и сложить почленно равенства (3.38); мы сразу получим

Из формул (3.39) и (3.40) вытекает, что при переходе от системы К к системе К меняются наклона скорости к соответствующей оси х (напомним, что геометрически оси

совпадают) и абсолютная величина скорости (рис. 3.8, а). Конечно, это же самое имеет место и в классической механике, по описывается другими формулами.

Рис. 3.8. а) Частица в К движется в плоскости Угол наклона ее скорости к оси X равен в, причем . В системе К компоненты меняются согласно (3.26), откуда ясно, что угол уже не равен в (см. также (3.31))). Для случая, изображенного на чертеже, Свет надает в системе отсчета К но оси у, т. е. нормально направлению движения системы. Очевидно, что . В системе К, согласно (3.26), откуда Углом аберрации называют угол, составляемый видимым направлением прихода света в К с направлением света в К, т. с. угол с осью Угол аберрации .

Отметим полезную формулу, вытекающую из (3.40). Она понадобится нам в гл. 7. Составим, пользуясь первым равенством (3.40), выражение

Следовательно,

или

Из (3.41) нетрудно получить та кисе удобное выражение для квадрата абсолютной величины скорости:

из которого сразу следует, что если меньше единицы, то Для частного случая, когда скорость определялась согласно (3.28), эта же теорема была доказана выше. Формулу (3.43) можно получить, конечно, возведя в квадрат левые и правые части (3.26) и сложив их.

Из формул (3.38) и (3.39) легко получить формулы, определяющие изменение направления лучей света при переходе от системы К к системе К. В этом случае, положив в формуле мы, как и следовало ожидать, получим, что и Учитывая это, мы получим соответственно из (3.39) и (3.38)

Формулами (3.45) описывается явление аберрации света, которое состоит в том, что волновой фронт световой волны меняет свое направление при переходе от одной ИСО к другой. Пусть свет в К идет но нормали к направлению движения, например в направлении оси у (рис. 3.8, б); это значит, что . Тогда, согласно (3.44),

Углом аберрации принято называть угол, образуемый видимыми направлениями луча в двух ИСО. В К свет шел в направлении оси у, а в К — под углом к оси у. Очевидно, угол а и является углом аберрации, причем

Для угла аберрации а по формулам преобразований Галилея (проделайте это сами!) мы получили бы . Это значит, что релятивистская формула отличается от нерелятивистской членом порядка

Нетрудно получить формулы для угла аберрации и в том случае, когда свет падает под произвольным углом к направлению

движения. Будем считать, что Тогда, согласно (3.45),

Отбрасывая все члены, начиная с и выше, получим

Угол — это угол аберрации. Так как правая часть, пропорциональная В, мала, то и мало:

Следовательно,

Это — элементарная формула аберрации для света, падающего в системе К под углом На рис. 3.8 иллюстрируется изменение направления скорости частицы при переходе от системы К к К, а также вычисление угла аберрации для нормального (относительно движения) падения света. О роли явления аберрации в развитии СТО см. Дополнение II.

В заключение вычислим относительную скорость двух частиц. Естественно определить относительную скорость двух частиц как скорость одной из них в той системе К, в которой другая частица покоится. Пусть в системе К скорости частиц равны Выберем систему координат К так, чтобы Скорости частиц сразу же определяются из (3.40). Абсолютная величина скорости равна нулю, а абсолютная величина скорости первой частицы будет равна

Этим выражением и определяется значение квадрата относительной скорости двух частиц. Выражение (3.47) симметрично относительно

Для формулы (3.40) было показано, что всегда меньше (см. (3.43)); это справедливо и для (3.47): относительная скорость частиц не может превысить скорость света в вакууме.