§ 3.2. Относительность длины движущихся липеек (масштабов). Видимая форма тел, движущихся с релятивистскими скоростями.

Рассмотрим теперь измерение длины движущейся линейки. Пусть в системе К синхронизованы часы и сделаны пространственные отметки. Допустим, что относительно К движется со скоростью V линейка, расположенная параллельно оси х. С этой линейкой можно связать систему К. Как измерить длину этой же линейки в системе К? Очевидно, нужно определить координаты конца и начала линейки в системе К, но обязательно одновременно в этой системе. Это требование одновременности ведет к непривычному для нас, хотя об этом уже говорилось в § 2.3, результату: длина линейки при измерении ее в системе отсчета, относительно которой она движется, оказывается мепьше, чем при измерении ее в системе отсчета, где она покоится. Итак, пусть линейка неподвижна в системе , а координаты ее концов равны . По определению ее длина в К, которую, как мы уже указывали,

называют собственной длиной, равна Обозначим собственную длину линейки через , т. е. Поскольку линейка неподвижна в системе К, то об одновременности измерения координат ее концов можно не беспокоиться: ее длина измеряется любым обычным способом.

В системе К координаты концов линейки будут определяться согласно преобразованию Лоренца (см. (2.37а)):

Составив разность мы получим

Слева в (3.4) стоит собственная длина линейки. Справа в фигурных скобках стоят для двух событий — положения левого конца линейки в момент и положения правого конца линейки в момент системе К).

Величина только тогда будет длиной линейки в К, если положение концов линейки в К будет отмечено одновременно в К. Иначе для можно получить любое значение. Вспомните пример с определением длины движущегося поезда в пачале § 3.1: вы заметили положение хвоста поезда и медленно поворачиваето голову к его началу. Когда выотметите положение начала, а затем промерите расстояние между отметками, измеренная длина будет больше собственной длины поезда. Сделайте наоборот: заметьте положение начала поезда и медленно поворачивайте голову к хвосту. Легко сообразить, что если немножко подождать, то длина поезда может оказаться даже равной нулю. Именно об этом и говорит формула (3.4). Итак, чтобы однозначно определить длину линейки в системе К, нужно рассмотреть два одновременных в К события: совпадение левого конца линейки с какой-то пространственной отметкой в К (допустим, и совпадение правого конца линейки с какой-то пространственной отметкой в К (допустим, ). Это значит, что лишь при условии Но тогда из (3.4) следует , где через I обозначена длина линейки, определенная в системе К. Обычно последнюю формулу принято писать так:

Конечно, при тех же самых условиях задачи можно воспользоваться и формулами обратного преобразования:

Вычитая правое равенство из левого, получим

Но превратится в длину лить при условии Выразив с помощью через и положив в этой формуле мы снова получим (3.5).

Приведем еще два способа определения длипы движущейся линейки, приводящих, естественно, к тому же результату. Пусть линейка покоится в системе К, так что ее левый конец А совпадает с началом отсчета О (рис. 3.1). В момент с началом О совпадает начало системы (показания часов в ). Затем наблюдатель в В отмечает момент прохода О через точку В.

Пусть это будет момент I. Скорость системы К известна.

Рис. 3.1. К измерению длины движущейся линейки.

Таким образом, собственная длина линейки равна

Это собственная длина, потому что она измеряется масштабами и часами из К, где линейка покоится. Скорость тоже определена в системе К. С другой стороны, наблюдатель из К, находящийся в точке О, по своим часам отметит моменты прохождения точек А и В (точку А в момент точку В в момент Но мимо этого наблюдателя липейка движется тоже со скоростью V (в противоположную сторону), и наблюдатель из будет считать, что длина движущейся линейки I равна Но это промежуток собственного времени между двумя событиями (соппадение , а затем с В). Что касается — это промежуток времени между теми же событиями в системе К.

Согласно а так как — то

Относительность длин — прямое следствие относительности одновременности. Пусть в К покоится линейка, причем координаты ее концов Собственная длина

Пусть в К одновременно на концах линейки вспыхивают лампочки и эти два события отмечаются в системе К. Найдем расстояние между точками, в которых наступили эти события в системе (см. (3.1)). Это означает, что расстояние между точками, в которых наступили эти два события, больше, чем собственная длина линейки. Но это расстояние вовсе не длина линейки, которую измерит наблюдатель в К. Чтобы определить длину липейки в К, нужно найти координаты концов линейки одновременно в

системе К. Одновременные в К события происходят в К с относительным запозданием Но за это время конец линейки сдвинется по направлению движения на расстояние Таким образом, измереппая длина линейки будет меньше чем на величину т. е.

Напомним еще, что результат (3.5) был получен непосредственно из постулатов Эйпштейна (§ 2.3). Теперь пора остановиться на физическом смысле результата (3.5). Мы обнаружили, что длина физического тела (скажем, линейки) относительна, т. е. различна в разных системах отсчета. Наибольшую длину линейка имеет в той системе, где она покоится, т. е. собственная длина является наибольшей. Если определять длину линейки в любой инерциальпой системе, относительно которой линейка движется, ее длина окажется меньше собственной. Из формулы (3.5) вытекает, что если бы линейка могла двигаться со скоростью с, то ее длина оказалась бы равной нулю. Но такого случиться не может: любое тело, обладающее конечной массой покоя, в том числе и всякая реально возможная система отсчета, не может достичь скорости, равной с.

Рис. 3.2. Относительность длин линеек как следствие относительности одновременности наступления двух событий.

Что означает уменьшение длины линейки? Нередко можно услышать вопрос: становится ли линейка «на самом деле» короче? Прежде всего, ясно, что никакого сжатия линейки произойти не может. Это следует из основного принципа, положенного в основу СТО, — принципа равноправия всех ИСО. Во всех ИСО физическое состояние линейки одно и то же. Поэтому не может быть и речи о возникновении каких-либо напряжений, ведущих к деформации линейки. «Укорочение» линейки происходит исключительно в силу различных способов измерения длины в двух системах отсчета. С другой сторопы, обнаруживаемая относительность длины линейки не является иллюзией наблюдателя. Этот результат получается при любом разумном способе измерепия длипы движущегося тела. Более того, рассматривая физические явления в данной системе отсчета, нужно за длину тела принимать длину I согласно (3.5), а отнюдь не длину 10.

Крайне неудачно, имея в виду формулу (3.5), говорить о «ло-ренцевом сокращении», хотя эта формула действительно была введена впервые Г. А. Лоренцем в 1892 г. Но в нее вкладывался

совсем иной смысл (см. Дополнение II), чем тот, о котором мы рассказали.

Очень четко сказал Эйнштейн по поводу реальности лоренцева сокращения: «Вопрос о том, реально лоренцево сокращение или нет, не имеет смысла. Сокращение не является реальным, поскольку оно но существует для наблюдателя, движущегося с телом; однако оно реально, так как оно может быть принципиально доказано физическими средствами для наблюдателя, не движущегося вместе с телом».

Часто спрашивают еще: чему равна длина линейки «па самом деле»? Этот вопрос лишен смысла, если его задавать «вообще». Вопрос о длине линейки безотносительно к какой-либо системе отсчета просто не имеет смысла. В каждой системе отсчета линейка имеет свою длину; это и есть ее длина «на самом деле». Все инерциальные системы отсчета равноправны, и определяемые в этих системах длины линейки все равноправны. В каждой системе отсчета линейка будет вести себя так, как если бы она имела длину, определенную в этой системе. Хотя все ИСО равноправны относительно друг друга, для линейки существует все же одна «избранная» привычная нам система координат, а именно та система, в которой она покоится. С точки зрения наших привычных представлений это и есть «настоящая» длина линейки; мы склонны принять ее за истинную длину, но эта длина определяет поведение линейки лишь в этой «собственной» системе отсчета.

Наконец, последнее замечание. Линейка существует объективно, т. е. вне нашего сознания и вне нас. Но есть ли у нас длина до того, как осуществлены измерепия? Длина как некоторое число возникает в результате измерения и выбора единиц длины. Конечно, у линейки есть протяженность (если хотите, длина) как качество и до измерения, но до измерения нет численного значения длины. Таким образом, у объективно существующего тела численное значение длины возникает после измерения, а результат измерения, как мы установили, зависит от того, приборами какой системы мы пользуемся.

Рассмотрим теперь в двух системах отсчета линейки одинаковой собственной длины: Измерения, произведенные в системе К, покажут, что

Измерения, произведенные в системе покажут, что

Неравенства (3.6) и (3.7) отнюдь не противоречивы, потому что (3.6) получено для масштабов и часов системы для масштабов и часов системы Различие в получаемых значениях длины линейки кроется в том, что одновременность в системах К

и К" определяется по-разному. Трудпость в интерпретации выводов специальной теории относительности состоит не в том, что существуют относительные величины, а в том, чтобы обнаружить равноправие всех инерциальных систем отсчета. Неравенства (3.6) и (3.7) как раз и отражают такое равноправие.

Вывод СТО об относительности длины движущегося тела необычен отчасти потому, что в повседневной жизни мы не ощущаем такого эффекта. Возьмем самое быстрое доступное нам движение — движение Земли по орбите. В этом случае Отношение . Снова следует подчеркнуть, что сокращение длин — прямое следствие конечности скорости света. Если бы скорость света была бесконечной, то, как видно из формулы (3.5), длина липейки была бы одинаковой во всех системах отсчета. Это видпо также из того, что при с одновременность событий становится абсолютной.

Хотя до сих пор все время говорилось об относительности длины тел (линеек), следует помнить, что речь идет на самом деле об относительности расстояний между двумя неподвижными точками в одной системе отсчета при измерении их приборами из другой системы отсчета.

Рассмотрим кубик в системе К, где он покоится, со сторонами и собственным объемом Согласно преобразованиям Лоренца в произвольной ИСО К имеем , следовательно,

Таким образом, изменение объема кубика при переходе от системы К к системе определяется формулой

Из полученного результата вытекает, что собственный объем тела — инвариант преобразования Лоренца:

Можно ли непосредственно паблюдать лоренцево сокращение, скажем, наблюдая или фотографируя быстро движущееся тело? В первой работе Эйнштейна, посвященной теории относительности, можно прочесть следующее: «Тело, которое в состоянии покоя имеет форму шара, в движущемся состоянии — при наблюдении из покоящейся системы — принимает форму эллипсоида, с полуосями (Собрание научных трудов, т. I, стр. 18). Слово «наблюдение» в приведенном отрывке могло быть интерпретировано как визуальное наблюдение или фотографирование. Лет пятьдесят после появления СТО все были убеждены, что видимая форма релятивистски движущегося шара — эллипсоид.

Оказалось, однако, что вопрос о видимой форме тол, движущихся с релятивистской скоростью, требует учета многих обстоятельств и что быстро движущаяся сфера остается сферой. Если считать, что глаз и фотопластинка фиксируют мгновенное изображение, создаваемое светом, то это изображение создается лучами, идущими от разных участков тела, которым мы интересуемся, и приходящими одновременно на сетчатку глаза или фотопластинку. Но если оптические пути света, идущие от различных точек наблюдаемого тела, разпые, то на пластинке будут зафиксированы уже положения точек тела в разные моменты времени, разумеется предыдущие по отношению к моменту фотографирования. Весь эффект обусловлен конечностью скорости распространения света. На простом примере поясним, почему видимая форма движущейся сферы совпадает с видимой формой неподвижной сферы.

Рис. 3.3. Визуальное наблюдение куба, пролетающего мимо наблюдателя: взаимное расположение наблюдателя и куба при видимая картина летящего куба; е) возможная интерпретация видимой картины одним наблюдателем: поворот куба на угол наблюдение летящего куба под углом

Допустим, что светящийся куб, движущийся вдоль прямой, параллельной одной из его граней, пролетает мимо фотоаппарата (или наблюдателя). Фотографирование или наблюдение производится в тот момепт, когда центр куба попадает на нормаль, опущенную из точки, где находится фотоаппарат, на направление движения (рис. 3.3, а). Конечно, мы заранее должны знать, что движущееся тело имеет форму куба в собственной системе отсчета.

В определенный момент времени к пластинке придут все фотоны, испущенные одновременно в системе пластинки на линии и фотоны, испущенные точкой В раньше на интервал времени — длина ребра куба). Но в этот момепт времени точка В находилась в положении Одновременное определение положений точек А и в системе пластинки ведет, согласно обычному правилу измерения длины, к лоренцеву сокращению:

С другой стороны,

Из рис. 3.3, б и в можно попять, что картина, которую увидел бы неподвижный наблюдатель (идеализированный) при наблюдении

движущегося куба, совпадает с той, когда рассматривается неподвижный, но повернутый на некоторый угол куб. Этот угол определяется соотношением . Это — частный случай более общего результата: всякое трехмерное движущееся тело видно в данный момент повернутым. Если же куб находится относительно наблюдателя в таком положении, что он в состоянии покоя видеп под углом относительно оси то угол поворота будет другой. Если куб достаточно удален от наблюдателя, то идущий от пего свет можно принять за параллельный пучок. Когда этот пучок наблюдается в системе К, то для наблюдателя в К он распространяется под углом Ф к оси х, причем углы О и связаны соотношением

Изменение направления фронта плоской волны при переходе от одной системы отсчета к другой (находящейся в относительном движении) - это аберрация света. Изображение, получаемое в этом случае на пластинке, соответствует кубу (рассматриваемому в К под углом повернутому на угол .

Рис. 3.4. Принципиальная схема, позволяющая сфотографировать лоренцево сокращение движущегося стержня. Когда середина стержня 0 оказывается на линии срабатывает устройство, открывающее (на мгновение) затвор в Р так, чтобы он пропустил лучи, испущенные точками стержня в момент пересечения точкой О линии

Отсюда ясно, что сфера также поворачивается, но это не меняет форму ее контура (подробности см. в [28]).

И все же — можно ли сфотографировать тело так, чтобы было зафиксировано на пластинке релятивистское сокращение? Чтобы избежать трудностей с поворотом, можно взять одномерный объект, сравниваемый на пластинке с его собственной длиной. Для этого наблюдатель в К (стержень покоится в К) должен знать заранее, что стержень движется вдоль заданного направления, и собственную длину стержня. Тогда у себя в системе К он строит двойник движущегося стержня и фотографирует движущийся стержень на фоне его собственной длины.

Простейшая схема для фотографирования стержня, испытавшего лорспцово сокращение, могла бы быть такой (рис. 3.4). Стержень параллелен оси х и движется вдоль этой оси. Наблюдатель находится на нормали к оси х, причем эта нормаль проходит

через середину двойника стержня, покоящегося в системе К. Когда середипа движущегося самосветящегося стержня оказывается на нормали, срабатывает механизм, открывающий затвор фотоаппарата; при этом на пластинке фиксируются одновременные положения начала и конца стержня. Сфотографировать неподвижный двойник можно, конечно, когда угодно. Скорее всего, это тоже «мысленный эксперимент».

Нельзя не упомянуть, однако, о том, что качественно «поворот куба», движущегося с релятивистской скоростью, был сфотографирован. За подробностями мы отсылаем читателя к 127].

Вообще, «видимая» картина может довольно существенно отличаться для различных наблюдателей. Вот простой пример. Пусть наблюдатель находится на некотором расстоянии от плоскости, на которой одновременно в системе, где покоятся плоскость и наблюдатель, вспыхивают лампочки или вообще производится вспышка света. Тогда из-за конечности скорости распространения света наблюдатель увидит, что плоскость постепенно начинает светиться, причем «волна освещения» бежит от центра к периферии. В частности, если одновременно мгновенно освещается бесконечная нить, удаленный наблюдатель видит две разбегающиеся световые точки.

По той же причине видимая (наблюдаемая) скорость также может отличаться от фактической: она может оказаться даже больше скорости света [331.