§ 6.7. Ковариантность системы уравнений Максвелла.

Уравнения Максвелла исчерпывающим образом определяют поведение электромагнитного поля. Они были написаны задолго до возникновения теории относительности и, конечно, до того, как были найдены преобразования Лоренца. Согласно принципу относительности вид уравнений Максвелла должен оставаться неизменным во всех инерциальных системах отсчета. Следовательно, уравнения Максвелла должны быть ковариантными относительно преобразований Лоренца. Оказалось, что система уравнений Максвелла в том самом виде, в котором она была написана ее создателем, удовлетворяет этим требованиям. Для того чтобы установить это, необходимо систему уравнений Максвелла, записываемую обычно в виде системы трехмерных уравнений, переписать в четырехмерной форме. Этим мы сейчас и займемся. Как известно, система уравнений Максвелла имеет вид

Мы разбили уравнения на две строчки, объединив уравнения для средних значений электрического и магнитного полей Ей В и уравнения для вспомогательных векторов Н и

Чтобы записать уравнения (6.56) и (6.57) в четырехмерном виде, нам понадобятся тензоры (6.29 а) и (6.31); мы используем также определение 4-вектора плотности тока (6.12 а). Заметим, кстати, для будущего, что в вакууме тензоры связаны соотношением

Уравнения (6.56), естественно, могут быть выражены через тензор (6.31), а уравнения (6.57) — через тензор (6.29 а).

Рассмотрим х-компоненту уравнения (6.56 а):

Вспоминая, что согласно (6.12 а) и используя первую строку (6.31) наряду с определениями — мы перепишем (6.59) в виде для двух других компонент мы получим аналогичные выражения, которые можно в общем виде записать так :

(суммирование по к от 1 до 4). Легко убедиться в том, что при мы получаем (6.566). Таким образом, уравнения (6.56) переписываются в виде (6.60), но уже через компоненты 4-тензора (6.31).

Рассмотрим теперь четверку уравнений (6.57). Например, -компонента уравнения (6.57а) перепишется так:

Воспользовавшись тензором (6.29а), можно переписать (6.61) следующим образом:

Нетрудно обнаружить, что последовательные слагаемые в (6.62) получаются циклической перестановкой трех индексов в каждом предыдущем слагаемом. Однако структура уравпепия (6.62) станет совершенно прозрачной, если ввести тензор дуальный тензору (см. Приложение I, § 6):

где - совершенно антисимметричный единичный 4-тензор четвертого ранга. Легко убедиться в том, что дуальный тензор отличается от тензора лишь перестановкой компонент мнимой и действительной частей:

или в развернутой форме:

Используя этот тензор, пару уравнений Максвелла (6.57) можно записать в четырехмерной форме так:

Убедимся в том, что (6.66) соответствует четырем уравнениям (6.57).

Уравнение (6.66) содержит в себе четыре уравнения

3, 4). Рассмотрим, например, уравпепие для

или, иначе,

Уравнение (6.66) при дает две остальные компоненты уравнения Остается лишь уравнение с

мы получаем уравнение (6.576): Таким образом, (6.66) содержит в себе уравнения Максвелла (6.57).

Довольно часто выражают уравнения (6.57) непосредственно через тензор Нам такая занись понадобится, поэтому мы приведем и ее. Уравнения Максвелла (6.57) с равным нравом можно записать как в форме (6.66), так и в виде уравнения, одно из которых мы получили в (6.62):

В уравнении (6.67) суммирования нет. Из четырех возможных значений индексов выбираются три разных (читатель убедится, что если выбрать два из этих индексов одинаковыми, то, принимая во внимание антисимметрию тензора

можно обнаружить, что соотношение (6.67) превратится в тождество). Как видно из структуры (6.67), распределение выбранной тройки чисел между индексами несущественно. А это означает, что фактически в (6.67) содержится число независимых уравнений, равное числу сочетаний из четырех индексов по три Убедиться в том, что из (6.67) следуют четыре уравнении (6.57), мы предоставляем читателю.

Теперь уже доказать ковариаптпость уравнений Максвелла совсем нетрудно. Мы убедились в том, что они могут быть записаны в виде (6.60), (6.66) или (6.60), (6.67). Но (6.60) и (6.66) представляют собой соотношения между 4-векторами, поскольку в Приложении I, § 5 доказано, что выражение нредставляет собой вектор. Отличие (6.60) от (6.66) состоит лишь в том, что в правой части (6.66) стоит нулевой вектор. Что касается (6.67), то это соотношение явно записано в тензорной форме и поэтому ковариантно. Таким образом, уже из одной четырехмерной формы записи уравнений Максвелла видна их ковариантность.

Но система уравнений Максвелла не исчерпывается уравнениями и (6.57). Закон сохранения заряда мы уже записали в копа риантной форме (см. стр. 176). Нам осталось лишь переписать в ковлриантной форме «материальные уравнения».