§ 1.4. Принцип относительности Галилея. Второй закон Ньютона.

Принцип относительности Галилея относится исключительно к механическим явлениям; он был первым шагом к установлению принципа относительности, распространяющегося на всю физику. Галилей заметил, что состояние равномерного прямолинейного движения не оказывает влияния на механические явления. Нужно четко сформулировать, что это значит. Как мы уже знаем, для описания любых физических явлений, в том число и явлений механики, необходима система отсчета. Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся относительно друг друга равномерно и прямолинейно. Поставим в одной из них любой «механический» опыт: будем, например, рассматривать движение математического маятника или изучать свободное падение тел. Принцип относительности утверждает, что тождественные опыты, поставленные в двух системах, о которых мы говорили, дадут тождественные результаты. Это значит, что с помощью таких опытов обнаружить относительное движение систем невозможно. Конечно, при другой постановке опытов относительное движение обнаруживается без труда многими способами.

Первая из известных формулировок принципа относительности, которую можно найти в книге Галилея «Диалоги о двух главнейших системах мира — птолемеевой и коперниканской» (1632 г.), носит чисто качественный характер. Мы сделаем небольшую выписку из этой книги, отражающую суть дела:

«Запритесь с кем-нибудь из друзей в кают-компании под палубой большого корабля, взяв с собой мух, бабочек и других небольших летающих животных. Возьмите и большой сосуд с водой, в котором плавают рыбы. Подвесьте бутыль, из которой капля за каплей вытекает вода в широкий сосуд внизу. Пока ваше судно стоит на месте, внимательно наблюдайте, как насекомые летают по помещению с одинаковыми скоростями во все стороны. Рыбы плавают как угодпо, не предпочитая какого-либо особого направления. Капли падают в сосуд под бутылью. Если же вы бросите что-нибудь вашему другу, то вы приложите одинаковое усилие, в каком бы направлении ни бросали, если расстояния одинаковы. Прыгая обеими ногами сразу, вы будете пролетать одинаковые расстояния в любом направлении. Тщательно пронаблюдав все это (хотя вы и не сомневались, что все будет происходить именно так, пока корабль стоит на месте), отдайте команду, чтобы корабль начал двигаться с любой скоростью, лишь бы его движение было равномерным и не подвергалось каким бы то ни было возмущениям. Ни в одном из указанных процессов вы не обнаружите ни малейших изменений и не сможете ни по одному из них узнать, движется ли ваш корабль или стоит на месте».

Из качественной формулировки принципа относительности Галилея — тождественность результатов тождественных механических опытов, поставленных двумя наблюдателями, движущимися равномерно и прямолинейно относительно друг друга, — вытекают существенные следствия. Действительно, если известны законы, управляющие механическими явлениями, а все тождественные механические опыты дают один и тот же результат в разных системах отсчета, то и законы механики должны быть одинаковыми в этих системах отсчета. Другими словами, уравнения механики должны быть одинаковыми во всех системах отсчета, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно.

Итак, основные уравнения механики, записанные в координатах и через показания часов своей системы отсчета, должны иметь одинаковый вид. Вместе с тем ясно, что многие величины меняются при переходе от одной системы отсчета к другой. Действительно, рассмотрим движение частицы в системе К; оно обычно задается как зависимость радиус-вектора от времени, . Согласно

(1.1) движение той же частицы в К задается переменным радиус-вектором Дифференцируя обе части последнего равенства но и имея в виду что получим

Таким образом, скорость частицы в системах К и К различна. Величины, изменяющиеся при переходе от одной системы координат к другой, называются относительными. Таким образом, х-координаты и скорость частицы являются относительными величинами. Однако ее ускорение в системах К и К одинаково, как это сразу становится очевидным после дифференцирования равенства (1.4):

То, что ускорение тел одинаково для всех наблюдателей из систем отсчета, движущихся относительно друг друга равпомерно и прямолинейно, просто очевидно. Но этот результат позволяет нам попять, что зпачит «уравнения имеют одинаковый вид во всех системах отсчета». Основным уравнением классической механики является уравнение, выражающее второй закон Ньютона. Это уравнение связывает между собой силу, действующую на тело, и ускорение, приобретаемое телом под действием этой силы:

константа называется массой тела.

Если законы механики во всех системах отсчета, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, действительно одинаковы, то уравнение (1.5) должно сохранять свой вид во во всех таких системах отсчета. Нетрудно убедиться, что это так и есть. Мы уже доказали, что во всех рассматриваемых системах отсчета ускорепия одинаковы. Но что происходит с силами при переходе от одной системы отсчета к другой? Допустим, что нас интересуют два тела I и II; пусть сила их взаимодействия зависит от расстояния между ними, их относительной скорости и времени. Но преобразования Галилея вообще не меняют ни одну из этих величип. Действительно, выпишем координаты и скорости тел

I и II в системах отсчета К и пользуясь преобразованиями Галилея:

Сразу . А поскольку расстояние между телами равно

то ясно, что оно не меняется при переходе от . Что касается относительной скорости, то

т. е. она остается неизменной; в силу преобразований Галилея время неизменно: . Поэтому силы, зависящие от перечисленных переменных, вообще не меняют своего вида при переходе от силы, рассматриваемые в механике, зависят либо от расстояния (силы тяготения, силы электрического взаимодействия, упругие силы), либо от относительной скорости (силы трения). Следовательно, силы, встречающиеся в механике, остаются неизменными при преобразованиях Галилея. Поскольку все величины, входящие в (1.5) — ускорения и силы, — не меняются при преобразованиях Галилея, основное уравпение классической механики (второй закон Ныотона), связывающее силы и ускорения, имеет одинаковый вид в системах К и К и отличается только обозначениями переменных. (Предполагается, конечно, что масса — величина постоянная; инвариантность массы — один из основных постулатов классической механики.) В системе К уравнение, описывающее второй закон Ныотона, если сила зависит от расстояния и времени, имеет вид

а в системе К

Уравнение, которое не меняется при преобразовании входящих в него переменных (другими слонами, члены которого оказываются инвариантными), называется инвариантным по отношению к данному преобразованию. Таким образом, мы показали, что уравнепис, выражающее второй закон Ньютона, инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея.

Теперь уже можно точнее сформулировать, при каком условии «тождественные опыты ведут к тождественным результатам».

Уравнение Ньютона (1.5) — обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Движение системы описывается его решениями. Для того чтобы решения уравнения (1.5) в системах К и К совпадали (это и обеспечивает «тождественность» движения), необходимо, чтобы совпадали и начальные условия в этих системах. Инвариантность осповного уравнения механики обеспечивает условие того, что все механические явления протекают одинаково во всех системах отсчета, равномерно движущихся относительно друг друга, только в том случае, если начальные условия в этих системах совпадают.

Если начальные условия для одного и того же явления в разных системах отсчета различны, то и само явление будет выглядеть по-разному. К примеру, если капля дождя падает по вертикали для наблюдателя, стоящего на платформе, то для наблюдателя, едущего в поезде, эта же капля будет двигаться по параболе (мы считаем, что капля падает ускоренно). Однако и начальные данные в этих системах были разные; с точки зрения наблюдателя в поезде, у капли в начальпый момент была горизонтальная компонента скорости; наблюдатель, стоящий на платформе, должен считать, что никакой горизонтальной составляющей скорости у капли в начальный момент не было.

Мы уже упоминали выше, что в механике Ньютона предполагается бесконечно быстрая передача взаимодействия между телами. Теперь уже можпо пояснить это подробнее. «Взаимодействие» тел определяется силами. В классической механике считают, что силы зависят от расстояния между телами, причем, это считается верным и для тел, находящихся в относительном движении. Но расстояние между двумя движущимися телами должпо записываться и пиде

Если принять, что взаимодействие (сила) передается с конечной скоростью, то считать при этом, что в выражение для силы входит нельзя. Если нас интересует сила, действующая со стороны тела II на тело I, то положение тела II нужно взять не в момент 2, а раньше на тот промежуток времени, который необходим, чтобы взаимодействие «передалось» от тела II к телу I. Если пренебрегать этим временем запаздывания, то это означает фактически, что мы считаем скорость распространения взаимодействий бесконечно большой. Именно так и считают в механике Ньютона.

То же самое видно, если вводить потеициальпуго эпергию. Записав, как обычно, цептральную силу для взаимодействия диух частиц в виде

мы явно пренебрегаем запаздыванием в передаче взаимодействия.

Мгповенная передача взаимодействия (это называли в свое время дальнодействием) для нас представляется удивительной и непонятной. Передача всякого сигнала (т. е. энергии и импульса, способных совершать некоторое действие, например включить какое-либо устройство) требует времени. Передать сигнал «отсюда» в другое место («туда»), как нас учит опыт, мгновенно нельзя. По во времена Ньютона иного представления, как дальнодействие, для передачи взаимодействия возникнуть не могло. Конечная скорость передачи взаимодействий появилась вместе с представлением о поле, которое было введено в теорию электромагнетизма Максвеллом. В теории Максвелла взаимодействие зарядов или токов осуществляется посредством поля, которому приписывается самостоятельное существование. Но из нее следует, что поле распространяется с конечпой скоростью, а это и означает, что взаимодействие распространяется со скоростью распространения поля. Скорость распространения электромагнитного поля в пустоте играет фундаментальную роль для теории относительности. Ее обозначают латинской буквой с. Численно с равно примерно см/сек. Так как измепение поля передается от точки к точке, нолевые теории называют теориями близкодействия. Как мы увидим, теория относительности в принципе отвергает дальнодействие.