§ 8.5. «Эквивалентность» массы и энергии. Нулевая масса покоя.

В этом параграфе мы вновь возвращаемся к вопросам, которые уже обсуждались, причем главная причина повторения отнюдь не в том, что откроются новые парадоксы, а в том, что появилась возможность рассмотреть совместно некоторые результаты, которые до сих нор излагались разрозненно. Будет приведен также ряд полезных примеров.

Мы знаем (§ 5.6), что любая физическая система, обладающая в собственной системе отсчета энергией обладает массой покоя равной . В этом соотношении под понимается вся энергия, содержащаяся в системе. Мы приведем два примера, иллюстрирующих это утверждение.

Рис. 8.14. Переход из системы К в систему К" означает изменение линии одновременности. От мы переходим к

1. Рассматривается замкнутая система, состоящая из невзаимодействующих материальных точек, между которыми происходят упругие соударения (в классической физике эта модель соответствует идеальному газу). Обозначим через массы покоя точек, а через — их четырехмерпые скорости в собственной системе Перейдем теперь к другой инерциальпой системе отсчета К, относительную скорость которой мы папраиим, как обычно, по оси х. Трехмерные компоненты скоростей точек в К найдутся согласно следующим формулам:

Воспользуемся еще формулой (3.17):

которую мы перепишем в принятых в этой книге обозначениях:

Результирующий импульс системы определяется как сумма импульсов отдельных частиц:

Поэтому

Нетрудно найти, что

Что касается энергии системы, то

поскольку

Следовательно, для замкнутой системы

где V — скорость движения центра инерции. Но это означает, что масса покоя системы равна . С точки зрения кинетической теории вещества в энергию покоя системы должна входить и тепловая энергия. Но мы уже зпаем, что в массу покоя системы входят не только массы покоя отдельных частиц, но и их суммарная кинетическая энергия; эта энергия с макроскопической точки зрения как раз и представляет собой тепло.

2. Рассмотрим неупругое соударение двух тел. Систему двух тел можно рассматривать как замкнутую, поэтому к этому процессу можно применить закон сохранения 4-импульса. Обозначим массу покоя тела, образовавшегося после соударения, через , а массы покоя сталкивающихся тел — через Закон сохранения энергии-импульса запишется в четырехмерной форме так:

где — скорость единого тела, образовавшегося после удара. Первые три уравнения (8.26) для позволяют найти три слагающие скорости единого тела. Что касается четвертого уравнения то оно запишется в виде

В системе отсчета, где вновь образовавшееся тело нокоится,

Это равенство можно переписать еще и так:

Из равенства (8.27) видио, что масса покоя образовавшейся системы кроме суммы масс покоя исходных частиц содержит в себе дополнительную массу, связанную с тем, что релятивистская кипетическая энергия двух частиц (выражение в квадратных скобках) преобразовалась в какие-то иные виды

энергии (например, в тепло). Таким образом, релятивистская механика в закон сохранения энергии включает сразу все виды энергии, а не только те виды, которые мы привыкли учитывать в механике.

В заключение следует еще раз подчеркнуть, что полученные соотношения указывают на пропорциональность массы покоя и энергии покоя, но гораздо важнее помнить, что это справедливо лишь в собственной системе отсчета. Вообще говоря, энергия и масса покоя с четырехмерной точки зрения обладают различными свойствами при преобразованиях Лоренца (см. § 5.7), и говорить о переходе «массы» в энергию, как это иногда делают, просто бессмысленно.

Вернемся теперь еще раз к нулевой массе покоя. Конечно, с привычных классических позиций нулевая масса покоя представляется довольно странной. Мы видели (см. § 7.6), что мы должны приписать пулевую массу покоя частицам, движущимся со скоростью с (по современным представлениям, к таким частицам относятся кванты света — фотоны и нейтрино). Скорость с, как мы знаем, в СТО занимает привилегированное положение: в любой экспериментально реализуемой ИСО она сохраняет свое значение. На этом можно было бы поставить точку, но нам хотелось бы сделать еще несколько замечаний.

По-видимому, не впадая в противоречия, следует считать, что материя (в философском смысле), обладающая конечной массой покоя, равноправна с материей, масса нокоя которой равна нулю. Мы увидим, что последний случай реализуется в природе сравнительно редко, но в принципе он реализуем. Обе упомянутые формы материи могут переходить одна в другую, и на одном примере такого перехода мы сейчас остановимся. Это — образование гамма-квантами (фотонами высоких энергий) пар электрон — позитрон и обратная реакция столкновения электрона с позитроном (эта реакция известна под несколько устаревшим названием «аннигиляции» частиц). В результате этой реакции частицы с конечной массой нокоя (электрон и позитрон) перестают существовать, а вместо них возникают два фотона. Существенно, что в этой реакции удовлетворяются законы сохрапепия энергии и импульса. И фотоны (частицы, не имеющие массы нокоя), и электрон, и позитрон (имеющие массу покоя) обладают определенными импульсами и энергией. Соответствующие суммарные величины в этой реакции сохраняются; фотон, как объективную реальность, определяют (характеризуют) его импульс и энергия. Масса покоя фотона, равная нулю, характеризует фотон не в меньшей степени, чем конечная масса, присущая позитрону и электрону.

Если рассмотреть соударение электрона и позитрона в системе центра инерции (в этой системе частицы движутся навстречу друг другу с равными, но противоположно направленными

скоростями закон сохранения энергии запишется в виде

Это равенство выражает тот факт, что суммарная энергия электрона и позитрона равна энергии двух образующихся фотонов. Если учесть, что в системе центра инерции то для наблюдаемой частоты возникающих фотонов мы получим

Равенство энергий образующихся фотонов следует из закона сохранения импульса: импульсы фотонов должны быть равны по величине (но противоположны но направлению), а импульс фотона пропорционалеп его энергии.

Если электрон и позитрон движутся с нерелятивистскими скоростями, то для частоты фотонов, возникающих при аппигиляции позитрона и электрона, получается значепие хорошо согласующееся с экспериментальными данными.

Приведенный пример отшодь не является единственным. Упомянем еще распад нейтрального мезона (масса покоя масс покоя электрона):

Рассмотрим теперь фотонов одинаковой частоты, движущихся по различным направлениям. Энергия этой системы фотонов равна сумме энергий отдельных фотонов: импульс системы фотонов Р равеп сумме импульсов фотонов:

где — единичный вектор в направлении распространения фотона. По определению масса покоя М этой совокупности фотонов находится из соотношения

Правая часть (8.30) обращается в нуль лить в том случае, если все фотопы распространяются в одном направлении. Этот результат нам уже известеп из § 7.3: ограниченный плоских волн обладает равной нулю массой покоя. Однако уже два фотона, направления распространения которых составляют некоторый угол обладают конечной массой покоя. Действительно, из общей формулы (8.30) получаем

Таким образом, облако электромагнитного излучения, состоящего из фотонов, масса покоя каждого из которых равна нулю, обладает положительной массой покоя и, соответственно, создает гравитационное иоле и испытывает силу со стороны гравитационного поля.

Исходя из того, что уже дна фотона, в общем случае, обладают массой покоя, можно было бы попытаться уклониться об обсуждения нулевой массы покоя фотона. Однако в принципе отдельный фотон наблюдаем и нулевая масса покоя требует интерпретации.

Для выяснения причины появления «нулевой массы покоя» целесообразно вернуться к четырехмерным представлениям. Рассмотрим 4-импульс частицы с конечной массой покоя

Масса покоя — абсолютная величина 4-вектора Р:

иричем она является инвариантом. В 4-векторе энергии-импульса энергия — это временная компонента, тогда как пространственными компонентами являются составляющие трехмериого импульса.

Уместно напомнить, что основные свойства 4-вектора Р совнадают со свойствами 4-вектора поскольку . С другой стороны,

Поэтому на мировых линиях нулевой длины масса покоя соответствующих частиц обращается в нуль, так как Фотоны как раз и движутся по линиям нулевой длины.

Остается, конечно, еще один, на первый взгляд парадоксальный вопрос. Как фотон — масса покоя которого равна нулю — переносит из одного места в другое конечную массу покоя? То, что оно так, совершенно очевидно при поглощении фотона. Отдавая свою энергию, например, твердому телу, фотон нагревает это тело и тем самым увеличивает массу нокоя тела.

Разберем простой пример. На одном конце тележки, способной двигаться без трения, испущен фотон, который затем поглощается на другом конце тележки. До излучепия фотона энергия покоящейся тележки равна (рис. 8.15). Система замкнутая, ее 4-импульс сохраняется, сумма 3-импульса тележки и фотона по-прежнему равна нулю. Сумма энергий тележки и фотона равна При этом масса системы осталась неизменной, хотя

масса тележки уменьшилась, а масса фотопа равна нулю. Ничего страшного: масса не аддитивна! Когда фотон поглощается на другом конце тележки, ее энергия снова равна но от одного конца тележки к другому уже перенесена энергия и распределение массы по тележке уже отличается от исходного.

Рис. 8.15. Фотон переносит массу, хотя его масса равна пулю. До излучения фотона энергия тележки равна . В замкнутой системе 4-импульс сохраняется, поэтому суммарный 3-импульс тележки и фотона по-прежнему равен нулю, а суммарная энергия тележки и фотона равна Масса системы осталась неизменной, хотя масса теяежкп уменьшилась, а масса фотона равна нулю (масса не аддитивна!). Кгода фотон поглощается на другом конце тележки, ее энергия снова становится равной энергия уже перенесена от одного конца тележки к другому и распределение массы по тележке уже отличается от исходного.

Наконец, заметим, что выводы СТО заставляют уточнить понятие «замкнутой» системы. В механике систему называют замкпутой, если образующие ее тела не взаимодействуют с «ппеш-пими» телами. Взаимодействие описывается силами. В химии удобно считать замкнутой систему, которая не обменивается веществом с окружающей средой (тогда, по нерелятивистским представлениям, масса сохраняется). Переходя к тепловым процессам, под замкнутой системой часто понимают теплоизолированную систему. Но СТО учит, что всякая передача энергии связана с передачей импульса (это относится и к передаче тепла); передача энергии меняет массу системы. Можпо объединить эти определения в одно, считая замкнутой систему, в которой сохраняются энергия и импульс (-вектор энергии-импульса). В замкнутой механической системе энергия и импульс сохраняются. Такая система является теплоизолированной. Ее масса, согласно обычному определению сохраняется. Конечно, закон сохранения массы замкнутой системы не подразумевает аддитиипость масс в системе. Это обстоятельство необходимо учитывать, особенно в случае порождения новых частиц.