§ 5.7. Некоторые задачи релятивистской механики частицы.

В рамках заданпой инерциальной системы отсчета пользоваться четырохмерными соотношениями ни к чему, достаточно использовать трехмерное уравнение (5.26) и соотношение (5.31). Напомним, что общий вид второго закона Ньютона остается неизменным, лишь по-иному определяются импульс и энергия частицы. Однако такое переопределение существенно меняет характер решений по сравнению с решепием той же задачи на основе уравпешга классической механики. В частности, решение любой задачи релятивистской механики не позволяет получить скорость частицы, большую чем скорость света. Возникают и иные особенности, для выяснения которых рассмотрим несколько задач, решая их параллельно на основе классического и релятивистского уравнений движения.

В связи с тем, что полученные формулы в дальнейшем не понадобятся, в этом параграфе вводится отдельная нумерация для каждой задачи.

I. Элементарное решение задачи об одномерном движении под действием постоянной силы. Уравнение движения имеет вид (слева — классическое уравпепие, справа — релятивистское)

где . Интегрируя при начальных условиях при имеем

Из (2а, б) алгебраически находится скорость как функция времени:

Мы обсудим эти результаты в задаче II, поскольку выяснится, что задача II — это просто иная формулиропка задачи I.

II. Прямолинейное равноускоренное движение частицы. Если частица в системе К движется вдоль оси то и в любой другой ИСО мы получим согласно Итак, будем рассматривать движение вдоль общей оси такое, при котором ускорение постояпно. Если ускорение частицы не меняется, то в системе отсчета, где частица покоится (в собственной системе отсчета), компонепты ее ускорения суть . Величина — это обычное трехмерное ускорение, направленное вдоль оси Квадрат 4-вектора ускорения является инвариантом, и поэтому для равноускоренного движения во всех системах отсчета должно соблюдаться условие

где — значение трехмерного ускорения в собственной системе отсчета. Это условие, конечно, отличается от требования Для одномерного движения в любой системе отсчета компоненты 4-скорости имеют вид откуда согласно Следовательно, в произвольной ИСО остаются два уравнения:

Мы обозначили Условие (1) запишется в виде

Уравнение двшкения запишется в виде

Б трехмерных обозначениях

Но, решая задачу I, мы убедились, что можно сразу получить эти равенства, если в релятивистское уравнение движепия подставить постоянную силу . По — это вовсе не V, как это видно из (2).

Если начальные условия таковы, что при скорость равна нулю, то , выражая скорость через мы получим из (3)

где введепо обозначение Интегрируй последнее соотношение при начальпых условиях нриходим к выражению

Решепие классического уравнения движения для постоянной силы и тех же начальных условий имеет вид

Если классическая скорость неограниченно растет с течением времени, то в силу очевидного неравенства

из (4) следует, что релятивистская скорость всегда остается меньше с, как это и должно быть согласно принципу предельной скорости распространения сигналов. При релятивистские выражения (4) и (5) для скорости и координаты х переходят в классические. Если перенисать (4) в виде то очевидно, что с при

Найдем связь между координатным временем и собственным временем частицы . Если выбрать общееначало отсчета времени

При пренебрегая под корнем единицей по сравнению с получим

Мы видим, что собствеииое время тела, движущегося равноускоренно, растет значительно медленнее, чем время в «неподвижной» системе отсчета, относительно которой рассматривается движение.

Остается, конечно, физический вопрос о том, какие часы отсчитывают собственное время частицы, описываемое формулой (6), поскольку связь относится к равномерно и прямолинейно движущимся часам. Мы подробно обсуждали этот вопрос в § 3.3.

В заключение заметим, что релятивистское равноускоренное прямолинейное движение называют также гинерболическим, поскольку зависимость пройденного пути от времени (см. ниже с геометрической точки зрепия представляет собой гиперболу. Если заряженная частица движется в однородном и постоянном электрическом поле или тяжелая частица — в однородном и постоянном поле тяготения, движение является гиперболическим. Выпишем в заключение основные формулы, характеризующие

1 ннерболическое движение:

Из выражения для производной от скорости по времени видно различие между релятивистским и нерелятивистским «постоянным» ускорением.

III. Движение заряженной частицы в постоянном однородном электрическом поле. Выберем следующие начальные условия: в момент координаты заряженной частицы а ее скорость перпендикулярна полю Это соответствует задаче о частице,

влетающей в заряженный конденсатор параллельно его пластинам (рис. 5.1). Направим ось х но направлению а ось у — по направлению Тогда движение частицы будет происходить в плоскости Пока это возможно, не будем различать классическое и релятивистское уравнения движения, записав их в общей форме:

где — сила, действующая со стороны электрического поля на заряженную частицу. В компонентах:

Рис. 5.1. Электрон, влетающий в однородное электрическое поле конденсатора, в момент времени находится в начаче координат Сила со стороны поля направлена по оси начальная скорость электрона направлена по оси у Классическое решение задачи совпадает с решением задачи о движении тяжелой точки, брошенной горизонтально со скоростью в поле тяжести

Отсюда импульс находится интегрированием:

Но по начальным условиям как в классическом, так и релятивистском случае при Следовательно, можно написать

Тенерь уже нужно учесть различие в определениях импульса:

(см. скан)

(см. скан)

Таким образом, если классическая траектория была параболой, то релятивистская траектория оказалась цепной линией. Но для случая с цепная линия переходит в параболу. В самом деле, при мы имеем . Кроме того, при малых х можно принять откуда

а это и есть парабола (2). На этом примере, впрочем как и на всех следующих, видно, что решение задач релятивистской механики не требует нкедения какой-либо зависимости массы от скорости: решение получается просто интегрированием уравнения движения.

IV. Движение заряженной частицы в постоянном однородном магнитном поле. Классическое и релятивистское уравнения движения заряженной частицы в магнитном поле

выглядят одинаково не только по форме. Дело в том, что магнитное поле не совершает работу над зарядом и энергия частицы остается постоянной (см. (5.20) и (5.31)); разумеется, выражения для энергии в классическом и релятивистском случаях различны. На основе релятивистского соотношения

где уравнение (1) переписывается в виде

тогда как из классического определения импульса следует

Таким образом, релятивистское и классическое уравнения движения (2) и (3) отличаются лишь константами перед векторным произведением. Напомним, как решается уравнение (2) или (3). Направим ось z по направлению магнитного поля. Тогда Для постоянных мпожителей, возникающих перед произведением в уравнениях (2) и (3), введем обозначения:

Далее для определенности решаем уравнение (2). Раскрывая векторпое произведение перепишем (2) в компонентах:

Удобно перейти к комплексной переменной в плоскости Умножая второе из уравнений (5) на мнимую единицу и складывая с первым, получим

Это уравнение сразу интегрируется:

где а — комплексная постоянная. Если ее записать в виде а с вещественными то решение будет иметь вид

Очевидно, представляет собой модуль комплексного числа, стоящего в левой части (6):

Следовательно, величина скорости частицы в плоскости остается постоянной. Выражепие (6) можно переписать в форме

которая допускает непосредственное интегрирование:

Вспомнив геометрическое представление комплексного числа, записанного в виде мы убеждаемся, что частица все время остается на окружности постоянного радиуса — а угол, который составляет ее радиус-вектор с осью х, увеличивается равномерпо со временем: Это означает, что проекция движения частицы на плоскость представляет собой равномерное движение по окружности радиуса

где — проекция импульса на плоскость с круговой частотой (0. Что касается движения по оси то из третьего уравнения (5) следует, что

Из уравнений (8) и (9) следует, что заряженная частица в однородном магнитном поле движется по иинтовой линии, ось которой совпадает с направлением магнитного поля, а радиус определяется согласно (8). Скорость частицы, как это и должно быть в магнитном поле, постоянна. Если в начальный момент скорость частицы вдоль магнитного поля была равпа нулю то частица движется просто по окружности в плоскости, перпендикулярной полю.

Величина (орел определяет циклическую частоту вращения проекции частицы на плоскость перпендикулярную направлению магнитного поля. Эта частота называется циклотронной. Как мы видели, т. е. циклотронная частота релятивистских частиц меньше циклотронпой частоты нерелятивистских частиц. При малых скоростях

В заключение рассмотрим ускорение, приобретаемое заряженной частицей в электромагнитном поле, согласно классической и релятивистской механике. Из общего уравнения движения

получим для классического случая

Чтобы получить ускорение в релятивистском случае, используем соотношение (5.55), откуда

но согласно (5.31) , а согласно (5.32) поэтому (ср. уравнение 5.38))

Второй член в последнем звепе равенства может быть интерпретирован как появление некоторого трения (пропорционального скорости); отсюда можпо качественно понять, что ускорение частицы резко падает при приближении скорости частицы к скорости света. Ясно, конечно, что с точностью до Движение заряженной частицы в постоянных электрическом и магнитном полях изложено в [9], § 22; мы хотим только отметить, что в случае скрещенных (взаимно перпендикулярных) полей, для которых справедливо (ср. § 6.5), переходом к некоторой инерциальной системе отсчета можпо оставить либо только электрическое, либо только магнитное поле. Тогда в этой системе отсчета уже можпо воспользоваться полученными здесь результатами.

V. Реактивное движение в релятивистской механике. Как и в предыдущих задачах, мы будем вести параллельно решение для классического и релятивистского случаев. В качестве примера рассматривается движение ракеты, которую (вместе с выбрасываемым газом) можпо нринять за замкнутую систему. Напомним, что движение ракеты происходит за счет того, что в любой промежуток времени из ракеты выбрасывается некоторое количество вещества с определенной скоростью относительно ракеты. По закопу сохранения импульса корпус ракеты вместе с оставшимся горючим приобретает импульс в направлении, противоположном направлению выброса горючего. Как в классическом, так и релятивистском случае очень удобно решать задачу в сопутствующей ракете инерциальной системе отсчета. Так как скорость ракеты меняется, речь идет о мгновенно-сопутствующей системе.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Нетрудно убедиться, что в случае движения ракеты с нерелятивистской скоростью (14) переходит в (8). Действительно, в этом случае , следовательно, откуда и (14) совпадает с (3). Как и во всех решениях релятивистской механики, скорость ракеты V не может превзойти скорости света с. Если нам удастся сжечь даже всю массу ракеты (с горючим), то Из (14) следует лишь, что (максимальное значение разумеется, равно единице). По , а при .

Конечно, чем больше скорость выброса, тем эффективней действует ракета. Можно ли сделать скорость выброса равной скорости света с, т. е. Да, если реактивным газом будет свет: только фотоны и нейтрино могут двигаться со скоростью с. Эти два сорта частиц обладают той особенностью, что их масса покоя равна нулю (§ 7.6). Впрочем, равенство нулю массы покоя в этом случае видно и из (10). При с параметр скорости удовлетворяет условию . Но при , чтобы равенство (10) удовлетворялось при конечном значении М, нужно, чтобы

Волее подробпый анализ возможностей фотонной ракеты показывает, однако, что она непригодна для дальних космических полетов (см. 111]).

VI. Встречные пучки. Успехи ядерпой физики существенно зависят от того, какие энергии взаимодействия между элементарными частицами доступны нашему наблюдению. До сих пор существует два источника частиц высоких энергий — космический лучи и ускорители. Энергия частиц в космических лучах долго еще будет оставаться мечтой проектировщиков ускорителей, и планомерные исследования в физике высоких энергий пока ограничиваются той областью энергий, которая перекрывается ускорителями. Ускорители — ото сложные и дорогостоящие сооружения, строительство которых тянется годами, а стоимость составляет заметную часть национального бюджета любой высокоразвитой страны.

Допустим, что в лабораторной системе отсчета частицы разгоняются до энергии Нам нужно осуществить соударение этих частиц с такими же частицами (например, нас интересует соударение протопоп с протонами). Можно направить пучок протонов с полной энергией (в лабораторной системе отсчета) на мишень, содержащую водород, в которой нротопы практически неподвижны. Достаточно ограничиться соударением одпого налетающего и одного покоящегося протона. Тогда энергии системы, состоящей из двух этих частиц, равна (в этом параграфе мы считаем Вопрос состоит в следующем: нельзя ли существенно увеличить энергию взаимодействия, если взять два пучка, каждый из которых состоит из частиц с энергией (в лабораторной системе),

и направить эти пучки навстречу друг другу? Насколько возрастет «полезная» энергия взаимодействия? Для разнообразия эту задачу мы рассмотрим в необычных единицах времени — световых метрах (см. гл. 2).

Рис. 5.2. Две частицы движутся в лабораторной системе с равными, но противоположно направленными скоростями. В системе К частица 1 покоится.

Для простоты не будем говорить больше о пучках, а займемся двумя частицами. Максимальная полезная энергия (идущая на порождение новых частиц, ядерные реакции, разогрев вещества и т. д.) может быть оценена в системе центра инерции, ибо имеппо в этой системе подсчитывается внутренняя энергия системы (движение системы как целого, естественно, с нашей точки зрения, «бесполезно»). Рассмотрим две частицы 1 и 2, летящие навстречу друг другу с одинаковыми энергиями (скоростями) в лабораторной системе К. Эта система будет для них системой центра инерции, и полная энергия частиц в этой системе как раз и будет полезной энергией. Эта полная энергия равна , где Т — кинетическая энергия каждой частицы, — энергия покоя частиц (в принятых нами единицах времени с — 1). Выясним, как выглядит то же самое соударение с точки зрепия системы К, в которой частица 1 покоится. Это и будет картина столкновения палетающей на мишень частицы. Нас будет интересовать энергия частицы 2, вычисленная в системе, где покоится частица 7. Сделаем соответствующий пересчет по формулам (5.43). (Не забудьте, что рассматривается то же самое столкновение, но только в другой системе отсчета.) Импульс и энергию частиц 1 и 2 в К обозначим через . В системе К импульс и энергия частицы 1 равны т. На рис. 5.2 изображены системы и скорости частиц в системе К. Система К — собственная система для частицы 1, и согласно (5.49)

(в нашем случае поскольку К связана с частицей 1). Из (1) сразу следует, что

Будем рассматривать релятивистские скорости частиц, когда откуда сразу

В нашем случае откуда величина входящая в преобразование энергии, примерно равна Г. Теперь уже несложно записать формулу преобразования энергии частицы 2 при переходе от системы отсчета К к К:

— это, с точностью до удвоенной энергии покоя частиц (которой при релятивистских скоростях можпо пренебречь), энергия, реализуемая встречном соударении. Чтобы реализовать ее при покоящейся частице 1, нужпа энергия, в раз большая. Из этого расчета видна та выгода, которую мы получаем, используя встречные пучки.

Однако к тому же самому результату можно прийти проще. Мы докажем, что пересчет энергии согласно (5.43) эквивалентен подсчету энергии но формуле в том случае, если в нее будет подставлено релятивистское выражение относительной скорости частиц 1 и 2.

Итак, пусть в системе К импульс частицы 2 равен а энергия Ищется энергия частицы 2 в системе К, в которой частица 1 покоится.

Согласно (5.43)

поскольку в нашем случае (в системе К обе частицы имеют одинаковые скорости). Однако из формулы (5.10) следует (не забудьте, что у нас , см. рис. 5.2)

поэтому

где у определяется для скорости частицы 2 в системе К (т. е. для относительной скорости частицы относительно 1). Вычислим относительную скорость частиц 1 и 2. Имеем

В системе К частица 2 имеет скорость , а частица 1 — скорость поэтому

Это и есть относительная скорость частицы 2. Найдем теперь у:

Следовательно,

ибо а . Мы снова пришли к тому же самому результату, как это и должно было быть.