§ 6.10. Некоторые задачи, связанные с преобразованием электромагнитного поля.

Поле равномерно движущегося заряда. Магнитное и электрическое поля равномерно движущегося заряда проще всего получить пересчетом полей от системы К, где заряд покоится. Если точечный электрический заряд покоится в системе то в этой системе мы имеем дело с чисто электростатической задачей и заряд создает лишь электрическое поле. Однако если рассматривать тот же самый заряд с точки зрения системы К, движущейся относительно К со скоростью — V, то заряд образует нрямолинейпый ток. Магнитное поле, создаваемое прямолинейным током, хорошо известно: силовые липии такого поля представляют собой окружности, центры которых совпадают с током; плоскости этих окружностей нормальны направлению тока. Формулы преобразования полей приводят, естественно, к этим результатам.

Итак, пусть в системе К имеется точечный заряд, расположенный в начале отсчета. Тогда в этой системе

или, в проекциях на оси координат,

где Согласно (6.36) в системе К мы получим

Так как то магнитное поле в системе К лежит в плоскостях, перпендикулярных оси х, т. е. плоскостях, перпендикулярных направлению тока. Уравнения силовых линий магнитного поля в системе К имеют вид

Но

поскольку при преобразованиях Лоренца . Следовательно, дифференциальное уравнение силовых линий имеет вид Отсюда, очевидно, в качестве первого интеграла мы имеем уравнение окружности Следовательно, силовые линии являются окружностями с центром на оси тока.

Конечно, можно преобразовывать только поля, но и потенциалы. В системе скалярпый потенциал равен

а векторный равен нулю: Если в системе К 4-потенциал Ф имеет компоненты то в системе К согласно (6.14а)

Подставляя значения компонент 4-потенциала в системе К, получим

Таким образом,

Теперь нужно выразить входящее в через координаты заряда в системе К. Согласно преобразованиям Лоренца

и выражение для запишется в виде

где введено обозначение

Используя (6.107), можно выразить скалярный потенциал определенный согласно (6.104), через

а векторный потенциал А представить в виде

Перепишем выражения для компонент поля Е, принимая во впимапие (6.102), (6.105) и (6.107). Мы получим

Рис. 6.6. К вычислению электрического и магнитного полей равномерно движущегося заряда.

В системе К заряд находится в начале отсчета О (т. е. в точке ). Его координатами в момент в системе отсчета К будут Введем еще вектор направленный из точки О, где находится заряд, в точку наблюдения А с координатами (рис. 6.6). Вектор запишется в виде

где к — единичные векторы вдоль осей х, у, z. Умножив компоненты (6.108) соответственно на и к, мы получим

Если ввести угол между направлением движения заряда (т. е. осью х) и радиус-вектором , то

и, следовательпо,

Учитывая (6.109) и (6.110), можно переписать (6.107) в виде

после чего выражение для Е можно представить окончательно в виде

В формуле (6.111) электрическое поле движущегося заряда выражено в очень удобных переменных — через расстояние от двюкущегося заряда и угол составляемый направлением на точку, где ищется поле, с направлением движения заряда. Из (6.111) видно, что величина поля зависит от угла При задапном минимальное значение поля соответствует направлению движения заряда

а максимальное зпачепие поле имеет в направлении, перпендикулярном движению

Величина напряженности поля зависит от скорости движения заряда, причем надает, а возрастает с ростом скорости. Для заряда, движущегося с релятивистской скоростью, электрическое ноле сосредоточено в двух узких телесных углах, границы которых определены приближенно соотношением осевая линия этих телесных углов перпендикулярна направлению движения заряда.

Что касается магнитного поля движущегося заряда, то, учитывая, что в системе К магнитное поле по формуле (6.44) для поля В в системе К найдем

Если скорость заряда мала, то приближенно в вакууме

и

Выражение (6.113) представляет собой закон Био — Саеара.

Взаимодействие двух движущихся зарядов. Пусть два заряда движутся параллельно друг другу с одинаковыми скоростями V. Определим силу взаимодействия между ними в той системе, относительно которой они движутся. Пусть этой системой будет система К. Найдем силу, действующую на заряд

Со стороны заряда на действуют электрическое и магнитное поля. Сила, действующая на заряд это сила Лоренца:

Учитывая (6.112), можно написать, что

Для воспользуемся выражением (6.111), где нужно взять за радиус-вектор, проведенный от заряда к заряду а за угол — угол между и скоростью движения зарядов Подставляя (6.111) в (6.114), нолучим

откуда для составляющей по направлению движения имеем

а для составляющей, перпендикулярной движению,

Пусть заряды расположены на прямой, параллельной оси у, а один из зарядов находится на оси х, так что расстояние между зарядами равно у. Тогда , а

Эту формулу можпо получить совсем просто. В системе где оба заряда покоятся, взаимодействие зарядов электростатическое и сила взаимодействия равна Преобразование этой силы при переходе от системы К к системе К но формулам (5.35) и дает (6.116). Согласно (6.116) заряды отталкиваются в системе К. Но в системе К заряды движутся и представляют собой дна одинаково направленных параллельных тока. Такие токи, если они текут по проводникам, притягиваются. Противоречия здесь нет, поскольку физические ситуации различны. Рассмотрим выражение

силы (6.116) в вакууме для нерелятивистских скоростей

С другой стороны, запишем, по Амперу, силу взаимодействия двух элементов тока в вакууме:

Учитывая, что получим окончательно

Сила (6.117), наблюдаемая в системе отсчета К, относительно которой заряды движутся, состоит кулоновского отталкивания и, с точностью до множителя 1/2, амперовского притяжения. Полученное выражение для силы (6.117) нельзя без оговорок использовать для объяснения взаимодействия токов в проводниках. Нейтральные проводники с током в рассматриваемых условиях должны притягиваться. Но проводник, по которому идет ток, нейтрален лишь в одной системе отсчета (§ 6.1). Поэтому кулоновское отталкивание нужно учитывать. оно, по-видимому, обычпо все-таки слабее притяжения.