§ 6.10. Некоторые задачи, связанные с преобразованием электромагнитного поля.
Поле равномерно движущегося заряда. Магнитное и электрическое поля равномерно движущегося заряда проще всего получить пересчетом полей от системы К, где заряд покоится. Если точечный электрический заряд
покоится в системе
то в этой системе мы имеем дело с чисто электростатической задачей и заряд создает лишь электрическое поле. Однако если рассматривать тот же самый заряд с точки зрения системы К, движущейся относительно К со скоростью — V, то заряд образует нрямолинейпый ток. Магнитное поле, создаваемое прямолинейным током, хорошо известно: силовые липии такого поля представляют собой окружности, центры которых совпадают с током; плоскости этих окружностей нормальны направлению тока. Формулы преобразования полей приводят, естественно, к этим результатам.
Итак, пусть в системе К имеется точечный заряд, расположенный в начале отсчета. Тогда в этой системе
или, в проекциях на оси координат,
где
Согласно (6.36) в системе К мы получим
Так как
то магнитное поле в системе К лежит в плоскостях, перпендикулярных оси х, т. е. плоскостях, перпендикулярных направлению тока. Уравнения силовых линий магнитного поля в системе К имеют вид
Но
поскольку при преобразованиях Лоренца
. Следовательно, дифференциальное уравнение силовых линий имеет вид
Отсюда, очевидно, в качестве первого интеграла мы имеем уравнение окружности
Следовательно, силовые линии являются окружностями с центром на оси тока.
Конечно, можно преобразовывать
только поля, но и потенциалы. В системе
скалярпый потенциал равен
а векторный равен нулю:
Если в системе К 4-потенциал Ф имеет компоненты
то в системе К согласно (6.14а)
Подставляя значения компонент 4-потенциала в системе К, получим
Таким образом,
Теперь нужно выразить
входящее в
через координаты заряда в системе К. Согласно преобразованиям Лоренца
и выражение для
запишется в виде
где введено обозначение
Используя (6.107), можно выразить скалярный потенциал
определенный согласно (6.104), через
а векторный потенциал А представить в виде
Перепишем выражения для компонент поля Е, принимая во впимапие (6.102), (6.105) и (6.107). Мы получим
Рис. 6.6. К вычислению электрического и магнитного полей равномерно движущегося заряда.
В системе К заряд находится в начале отсчета О (т. е. в точке
). Его координатами в момент
в системе отсчета К будут
Введем еще вектор
направленный из точки О, где находится заряд, в точку наблюдения А с координатами
(рис. 6.6). Вектор
запишется в виде
где
к — единичные векторы вдоль осей х, у, z. Умножив компоненты (6.108) соответственно на
и к, мы получим
Если ввести угол
между направлением движения заряда (т. е. осью х) и радиус-вектором
, то
и, следовательпо,
Учитывая (6.109) и (6.110), можно переписать (6.107) в виде
после чего выражение для Е можно представить окончательно в виде
В формуле (6.111) электрическое поле движущегося заряда выражено в очень удобных переменных — через расстояние
от двюкущегося заряда и угол
составляемый направлением на точку, где ищется поле, с направлением движения заряда. Из (6.111) видно, что величина поля зависит от угла При задапном
минимальное значение поля соответствует направлению движения заряда
а максимальное зпачепие поле имеет в направлении, перпендикулярном движению
Величина напряженности поля зависит от скорости движения заряда, причем
надает, а
возрастает с ростом скорости. Для заряда, движущегося с релятивистской скоростью, электрическое ноле сосредоточено в двух узких телесных углах, границы которых определены приближенно соотношением
осевая линия этих телесных углов перпендикулярна направлению движения заряда.
Что касается магнитного поля движущегося заряда, то, учитывая, что в системе К магнитное поле
по формуле (6.44) для поля В в системе К найдем
Если скорость заряда мала, то приближенно в вакууме
и
Выражение (6.113) представляет собой закон Био — Саеара.
Взаимодействие двух движущихся зарядов. Пусть два заряда
движутся параллельно друг другу с одинаковыми скоростями V. Определим силу взаимодействия между ними в той системе, относительно которой они движутся. Пусть этой системой будет система К. Найдем силу, действующую на заряд
Со стороны заряда
на
действуют электрическое и магнитное поля. Сила, действующая на заряд
это сила Лоренца:
Учитывая (6.112), можно написать, что
Для
воспользуемся выражением (6.111), где нужно взять за
радиус-вектор, проведенный от заряда
к заряду
а за угол
— угол между
и скоростью движения зарядов
Подставляя (6.111) в (6.114), нолучим
откуда для составляющей по направлению движения имеем
а для составляющей, перпендикулярной движению,
Пусть заряды расположены на прямой, параллельной оси у, а один из зарядов находится на оси х, так что расстояние между зарядами равно у. Тогда
, а
Эту формулу можпо получить совсем просто. В системе
где оба заряда покоятся, взаимодействие зарядов электростатическое и сила взаимодействия равна
Преобразование этой силы при переходе от системы К к системе К но формулам (5.35) и дает (6.116). Согласно (6.116) заряды отталкиваются в системе К. Но в системе К заряды движутся и представляют собой дна одинаково направленных параллельных тока. Такие токи, если они текут по проводникам, притягиваются. Противоречия здесь нет, поскольку физические ситуации различны. Рассмотрим выражение
силы (6.116) в вакууме для нерелятивистских скоростей
С другой стороны, запишем, по Амперу, силу взаимодействия двух элементов тока
в вакууме:
Учитывая, что
получим окончательно
Сила (6.117), наблюдаемая в системе отсчета К, относительно которой заряды движутся, состоит
кулоновского отталкивания и, с точностью до множителя 1/2, амперовского притяжения. Полученное выражение для силы (6.117) нельзя без оговорок использовать для объяснения взаимодействия токов в проводниках. Нейтральные проводники с током в рассматриваемых условиях должны притягиваться. Но проводник, по которому идет ток, нейтрален лишь в одной системе отсчета (§ 6.1). Поэтому кулоновское отталкивание нужно учитывать.
оно, по-видимому, обычпо все-таки слабее притяжения.