§ 2.8. Комплексные величины в СТО. Симметричные обозначения.

Нередко в целях формального удобства вводят мнимую временную координату . Этим приемом в рамках специальной теории относительности целесообразно воспользоваться потому, что он избавляет нас от необходимости вводить и различать ко- и контравариантные координаты (см. Приложение 1, § 8). Введение таких координат неизбежно при изложении релятивистской электродинамики, если не вводить мнимого

времени. Следует подчеркнуть, что введение мнимого времени всего лишь удобный прием и что без него можно обойтись; поэтому в появлении мнимой единицы нет никакой мистики. В конечном виде все формулы для координат и времени не содержат мнимой единицы, и это еще раз показывает, что мнимая единица играет лишь вспомогательную роль.

Итак, и целях формального удобства введем мнимую координату . Тогда

Приведем вывод преобразований Лоренца с использованием мнимой переменной . Рассмотрим плоскость переменных в этой плоскости выражение является расстоянием от начала координат до точки . Это расстояние не меняется при повороте координатной системы на угол в плоскости

Поворот в обычной (евклидовой) плоскости на угол описывается формулами (см. Приложение I, § 2)

где все величины действительны.

Рассмотрим поворот в плоскости где одна из координат — чисто мнимая величина. Будем считать, что формулы (2.31) сохраняют свой вид и в этом случае; как мы увидим, геометрический смысл формул с мнимой переменной будет существенно отличаться от смысла формул (2.31). Итак, запишем искомое преобразование в виде

Выясним смысл параметра Он может быть связан только со скоростью V относительного движения К и К, потому что только этим различаются эти системы. Возьмем любую точку в системе отсчета Она движется относительно К так же, как и вся система, т. е. со скоростью для любой точки, жестко связанной с системой К, можно написать . Считая х функцией продифференцируем (2.32а) но . Мы получим откуда следует, что

и, следовательно,

Тангенс оказался мнимым, и это еще раз напоминает нам о том, что среди переменных есть мнимая величина.

Из (2.33) можно найти по обычным формулам тригонометрии:

где введено уже использованное нами обозначение Подставляя в (2.32) значения находим искомые преобразования для переменных

Формулы преобразования координат события от должны отличаться от формул преобразования координат того же события от только заменой штрихованных величин на нештрихованные и наоборот; кроме того, знак у скорости V следует заменить на обратный. Таким образом, из (2.35) мы получим

Конечно, тот же результат получится, если непосредственно решить систему (2.35) относительно хит.

В формулах (2.35) и (2.36) легко перейти к действительным переменным Для этого подставим в них Тогда мы сразу получим формулы преобразования (2.16). Прямое и обратное преобразования переменных х и имеют вид

Нам пригодится в дальнейшем сопоставление преобразований Лоренца, записанных в форме (2.25) и (2.32). Напомним, что в (2.25) все величины действительны, а в (2.32) входит мпимое время. Воспользовавшись соотношениями (см. Приложение I, § 9)

мы видим, что достаточно в формулах (2.25) положить чтобы они перешли в формулы (2.32). Таким образом, в плоскости действительных переменных формально мы имеем дело с поворотом декартовой системы на мнимый угол. Такой поворот весьма мало напоминает вращение декартовой системы, а формулы (2.25), определяющие его, являются «пародией» на формулы (2.31), описывающие настоящий поворот. Геометрический смысл «поворота» осей согласно формулам (2.32) мы выясним чуть ниже

в этом же параграфе, а сейчас пыпишем нужную для дальнейшего симметричную форму преобразований Лоренца.

Введем симметричные обозначения основных перемепных следующим образом:

для мнимого времени и

для действительного времени.

Набор переменпых (2.38) будет удобен при изложении релятивистской электродинамики. Что касается набора переменных (2.39), то именпо он принят в книге [9]; эта книга содержит изложение общей теории относительности, а переход к ее изложению от СТО целесообразнее вести без мнимой единицы. Перепишем соответствующие преобразования переменных (2.30) (в действительной форме):

и (2.36) (с мнимым временем):

Преобразования (2.30) и (2.36) можно записать в сокращенной форме:

В формулах (2.40 а, б) подразумевается суммирование по к, по в (а) от 0 до 3, а в (б) от 1 до 4. Индекс «свободный», принимающий в (а) все значения от 0 до 3, а в (б) — от 1 до 4. Коэффициенты и образуют соответственно матрицы

которые называются матрицами преобразований Лоренца. Для преобразования координат и времени при переходе от одной

инерциальной системы отсчета к другой используются всегда матрицы такого вида. Эти матрицы различаются лишь величиной относительной скорости У, т. е. различными значениями

Формулы обратного перехода, т. е. перехода от системы К к К, получаются заменой В на —В. Обозначим матрицу перехода от К к К через так что

Для матрицы с действительными элементами указанная замела приводит к совершепно новой матрице Но матрица при замене В на —В переходит в матрицу (строки и столбцы мепяются местами), поэтому