Главная > Специальная теория относительности
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2.8. Комплексные величины в СТО. Симметричные обозначения.

Нередко в целях формального удобства вводят мнимую временную координату . Этим приемом в рамках специальной теории относительности целесообразно воспользоваться потому, что он избавляет нас от необходимости вводить и различать ко- и контравариантные координаты (см. Приложение 1, § 8). Введение таких координат неизбежно при изложении релятивистской электродинамики, если не вводить мнимого

времени. Следует подчеркнуть, что введение мнимого времени всего лишь удобный прием и что без него можно обойтись; поэтому в появлении мнимой единицы нет никакой мистики. В конечном виде все формулы для координат и времени не содержат мнимой единицы, и это еще раз показывает, что мнимая единица играет лишь вспомогательную роль.

Итак, и целях формального удобства введем мнимую координату . Тогда

Приведем вывод преобразований Лоренца с использованием мнимой переменной . Рассмотрим плоскость переменных в этой плоскости выражение является расстоянием от начала координат до точки . Это расстояние не меняется при повороте координатной системы на угол в плоскости

Поворот в обычной (евклидовой) плоскости на угол описывается формулами (см. Приложение I, § 2)

где все величины действительны.

Рассмотрим поворот в плоскости где одна из координат — чисто мнимая величина. Будем считать, что формулы (2.31) сохраняют свой вид и в этом случае; как мы увидим, геометрический смысл формул с мнимой переменной будет существенно отличаться от смысла формул (2.31). Итак, запишем искомое преобразование в виде

Выясним смысл параметра Он может быть связан только со скоростью V относительного движения К и К, потому что только этим различаются эти системы. Возьмем любую точку в системе отсчета Она движется относительно К так же, как и вся система, т. е. со скоростью для любой точки, жестко связанной с системой К, можно написать . Считая х функцией продифференцируем (2.32а) но . Мы получим откуда следует, что

и, следовательно,

Тангенс оказался мнимым, и это еще раз напоминает нам о том, что среди переменных есть мнимая величина.

Из (2.33) можно найти по обычным формулам тригонометрии:

где введено уже использованное нами обозначение Подставляя в (2.32) значения находим искомые преобразования для переменных

Формулы преобразования координат события от должны отличаться от формул преобразования координат того же события от только заменой штрихованных величин на нештрихованные и наоборот; кроме того, знак у скорости V следует заменить на обратный. Таким образом, из (2.35) мы получим

Конечно, тот же результат получится, если непосредственно решить систему (2.35) относительно хит.

В формулах (2.35) и (2.36) легко перейти к действительным переменным Для этого подставим в них Тогда мы сразу получим формулы преобразования (2.16). Прямое и обратное преобразования переменных х и имеют вид

Нам пригодится в дальнейшем сопоставление преобразований Лоренца, записанных в форме (2.25) и (2.32). Напомним, что в (2.25) все величины действительны, а в (2.32) входит мпимое время. Воспользовавшись соотношениями (см. Приложение I, § 9)

мы видим, что достаточно в формулах (2.25) положить чтобы они перешли в формулы (2.32). Таким образом, в плоскости действительных переменных формально мы имеем дело с поворотом декартовой системы на мнимый угол. Такой поворот весьма мало напоминает вращение декартовой системы, а формулы (2.25), определяющие его, являются «пародией» на формулы (2.31), описывающие настоящий поворот. Геометрический смысл «поворота» осей согласно формулам (2.32) мы выясним чуть ниже

в этом же параграфе, а сейчас пыпишем нужную для дальнейшего симметричную форму преобразований Лоренца.

Введем симметричные обозначения основных перемепных следующим образом:

для мнимого времени и

для действительного времени.

Набор переменпых (2.38) будет удобен при изложении релятивистской электродинамики. Что касается набора переменных (2.39), то именпо он принят в книге [9]; эта книга содержит изложение общей теории относительности, а переход к ее изложению от СТО целесообразнее вести без мнимой единицы. Перепишем соответствующие преобразования переменных (2.30) (в действительной форме):

и (2.36) (с мнимым временем):

Преобразования (2.30) и (2.36) можно записать в сокращенной форме:

В формулах (2.40 а, б) подразумевается суммирование по к, по в (а) от 0 до 3, а в (б) от 1 до 4. Индекс «свободный», принимающий в (а) все значения от 0 до 3, а в (б) — от 1 до 4. Коэффициенты и образуют соответственно матрицы

которые называются матрицами преобразований Лоренца. Для преобразования координат и времени при переходе от одной

инерциальной системы отсчета к другой используются всегда матрицы такого вида. Эти матрицы различаются лишь величиной относительной скорости У, т. е. различными значениями

Формулы обратного перехода, т. е. перехода от системы К к К, получаются заменой В на —В. Обозначим матрицу перехода от К к К через так что

Для матрицы с действительными элементами указанная замела приводит к совершепно новой матрице Но матрица при замене В на —В переходит в матрицу (строки и столбцы мепяются местами), поэтому

1
Оглавление
email@scask.ru