§ 7. Тензор напряжений.

В механике сплошной среды вводится тензор напряжении, с помощью которого можпо представить силу, действующую на весь объем, в виде силы, действующей на поверхность, ограничивающую этот объем. Рассматривая силы в электромагнитном ноле, мы пришли к выражениям именно этого вида; полезно рассмотреть постановку задачи в механике, где физика очень наглядна.

Если упругое тело подвергается деформации, то в нем возникают силы, стремящиеся вернуть это тело в положение равновесия. Эти силы называются внутренними напряжениями. Внутренние папряжения обусловлены силами взаимодействия молекул тела друг с другом. Характерной особенностью этих сил является «малый радиус действия», другими словами, их влияпие простирается лишь на микроскопические (атомные) расстояния. Отсюда ясно, что если рассмотреть пекоторый объем внутри тела, то силы, действующие на этот объем, сводятся к силам, действующим через поверхность, ограничивающую этот объем.

Действительно, пусть на единицу объема тела действует сила Выделим в теле объем Г и рассмотрим действующую на него суммарную силу. Если на объем действует сила то полная сила, действующая на объем, равна

силы, с которыми действуют друг на друга различные части рассматриваемого объема, но закону равенства действия и противодействия взаимно уничтожаются и не могут дать отличной от пуля равнодействующей. Поэтому полная сила, действующая на объем, возникает в результате действия сил со сторопы окружающих объем частей тела. Но, как уже было сказано, эти силы действуют лишь через поверхность, ограничивающую рассматриваемый объем. Значит, суммарная сила сведется к некоторому поверхностному интегралу, в частности, (5-я компонента силы

тоже должна переходить в поверхностный интеграл. Но это возможно лишь в том случае, если можно представить в виде

где про величину известно только, что она представляет собой компоненты тензора (только тогда в результате свертывания мы получим вектор). В этом случае согласно

Умножив обе части на и фактически производя суммирование, получим

Соотпошепие показывает, что суммарная сила, дейстцующая на объем, сведена к поворхпостному интегралу. Следовательно, полученный нами результат можно сформулировать так: если сплу действующую на единицу объема, можно представить в виде

то ее действие на весь объем может быть цредставлепо как действие поверхностной силы, распределенной на поверхности, ограничивающей объем, причем на элемент поверхности компоненты единичного вектора нормали к которому равпы на, действует сила

Рис. 11.2. а) Напряжение на площадку на границе объема, в котором созданы деформации; — нормаль I; элементу поверхности — сила, действующая на площадку, нормаль которой . К выводу условия равновесия замкнутого элементарного объема в форме тетраэдра. В качестве нормали к замкнуто) поперхности тетраэдра выбрана внешняя нормаль. На гранлх единичные векторы нормали равны соответственно . Площади граней и равны соответственно .

Остановимся кратко на физическом смысле составляющих тензора напряжений. Вернемся снова к объему внутри тела, испытавшего деформацию. Сила, действующая на элемент поверхности ограничивающей объем зависит от величины и направлепия эломепта, т. е. направления нормали к нему. Обозначим эту силу через подчеркнув, что ее направление, вообще говоря, не совпадает с направлением нормали к площадке . Вектор — сила, отнесенная к единице площади и зависящая от направления площадки, — называется напряжением на площадку с нормалью В каждой точке деформированного упругого тела любому направлению отвечает свой вектор напряжения В каждой декартовой системе отсчета можно определить напряжения действующие на единичные площадки, нормали которых совпадают с координатными осями. Мы докажем, что папряжение, отпесешгое к любой площадке с заданным вектором может быть выражено через девять компонент векторов причем эти девять компонент в совокупности образуют тензор натяжений

Пусть упруго деформированное тело находится в равновесии. Рассмотрим бесконечно малый тетраэдр (рис. П.2, б), площадь наклопной грани которого равна Пусть нормаль к этой грани направлена под острым углом к оси х. Тогда площадки, отсекаемые на коордипатпых плоскостях, равны Нормали к площадкам, отсекаемым наклонной гранью на координатных плоскостях, направлены противоположно направлению единичных координатпых осей , поэтому на грань действует сила — Значение берется в любой

точке поскольку грань бескопечно малая. Аналогично силы, действующие на грани и оказываются равными — . При равновесии сумма сил, действующих на тетраэдр, равна нулю:

откуда искомое напряжение выразится через

В равенстве стоит лишь перейти к симметричным обозначениям, чтобы убедиться в том, что мы получили тензор. Действительно, — это вектор нормали произвольно выбранной грани с компонентами , поэтому . Но в свою очередь где компоненты вектора откуда

Из выражения (II.1.58) видно, что девять компонент векторов преобразуются, как тензор (ср., например,