§ 2.5. Преобразования Лоренца как следствия постулатов Эйнштейна.

Найдем формулы, позволяющие по координатам события в системе К найти координаты того же самого события в системе К. Эти формулы (преобразования координат события) должны быть согласованы с постулатами Эйнштейна.

Как уже указывалось, пространство и время во всех инерциальных системах отсчета должны быть однородными. Из этого вытекает, что связь между координатами события в двух инерциальных с истомах должна быть линейной. Действительно, пусть системе К изменилось почало отсчета координат и времени, т. е. совершено преобразование Если связь между координатами события в линейна, то мы получим, например, для постоянные)

Из последнего равенства видно, что в тоже произошло изменение начала отсчета, так как выражение в круглых скобках одинаково для всех точек К. По такое изменение в силу однородности пространства и времени во всех ИСО несущественно.

Допустим теперь хотя бы один квадратичпый член в формуле преобразования:

Второй член в третьем звене равенства уже зависит от х и ведет к искажению (деформации) пространства. Этого мы допустить не можем. Итак, искомые преобразования — линейные.

Мы пользуемся расположением систем отсчета, изображенным на рис. 1.2: относительная скорость К и К направлена по общей оси оси у и z соответственно параллельны осям . В момент координатпме системы совпадают. Скорость К относительно К равна V. Ось х определяется пересечением плоскостей поэтому, если оси совпадают, то из условия должно следовать и Таким образом, формулы преобразования для должны иметь вид (А, В, С, D — постоянные)

Поскольку чисто пространственные вращения координатных систем несущественны для описания физических явлений, можно поворотом осей у и z вокруг оси х добиться того, чтобы плоскость нереходила в плоскость плоскость — в плоскость . Таким образом, можно положить однако в силу равноправия направлений у и z (пространство изотропно, а относительная скорость систем отсчета папраплена по оси ) нужно считать, что . Итак,

Нам остается определить коэффициент В. Рассмотрим единичную линейку, расположенную в системе К на оси у (коордипаты ее концов . В системе К координаты концов линейки были бы а длина V равнялась бы . Если взять единичную линейку в системе К, расположенную вдоль оси то координаты ее концов в К были бы а длина равнялась бы

Таким образом, измеряя единичную линейку системы К, наблюдатель из К найдет ее длину равной а измеряя единичную линейку системы К, наблюдатель из К найдет ее длину равной . В силу равноправия инерциальных систем такой результат недопустим, и следует положить Итак,

как этой было получено из постулатов Эйнштейна непосредственно (§ 2.3).

Найдем теперь формулы преобразования для х и Поскольку преобразования линейны, то

и, обратно,

где все коэффициенты А — постоянные величины. По условию, когда начала совпадают, и Отсюда Наблюдая за точкой О, можно сказать, что ее координата х в момент равна поэтому из имеем

таким образом, . Обозначая через Г, можно записать в виде (ср. § 2.4)

а на основании аналогичных рассуждений

Таким образом, задача свелась к определению коэффициентов . В силу однородности времени и пространства, а также изотропности пространства оба эти коэффициента могут зависеть лишь от абсолютной величины скорости V.

Легко убедиться в том, что Действительно, пусть в К масштаб, лежащий вдоль оси х, имеет собственную длину ? Поместим один его конец в пачале системы отсчета К, тогда

координаты его концов будут соответственно . В момент времени (напомним, что в этот момент геометрически системы совпадают) согласно Значит, длина масштаба с точки зрения равна

Возьмем масштаб такой же длины, неподвижпый в системе К, а также лежащий вдоль оси . Тогда координаты его концов будут равны . Но с точки зрения системы К в момент координаты его концов согласно (2.13) будут уже Следовательно, его длина равна

т. е. он укорочен в Г раз. Но обе системы К и равноправны, их относительная скорость одинакова, поэтому сокращение должно быть одинаковым, следовательно,

Найдем теперь величину Г. Отличие систем К и состоит лишь в относительном движепии, и Г может зависеть только от абсолютной величины V. Воспользуемся постулатом о постоянстве скорости света в вакууме во всех ИСО. В момент (когда начала обеих систем О и О совпадают) из общего пачала посылается световой сигнал. Пусть событие состоит в приходе сигнала в некоторый момент и системе К и в системе К) в некоторую точку в системе К и системе К), лежащую на оси х. В системе К эта точка имеет координату а в системе К та же точка имеет координату Эти времена и координаты связаны между собой преобразованиями (2.13) и (2.14), и, подставляя эти выражения для в (2.13) и (2.14), мы получим

Еслн почленно перемножить левые и правые части этих двух соотношений, то, сократив на получим

Мы убедились в том, что величина Г совпадает с величиной Г, которая впервые появилась в формулах (2.2) и (2.4).

Чтобы найти формулу преобразовапия времени, найдем из (2.14), принимая во внимание (2.13):

Таким образом, мы приходим к преобразованиям координат и времени события в виде

Преобразования (2.16) и есть преобразования Лоренца. Их нетрудно переписать также для произвольного нанравления относительной скорости V систем отсчета К и К. Действительно, мы получили, что меняются координаты но направлению движения, а поперек направления движения — остаются неизменными. Разложим радиус-вектор точки на части: параллельную направлению движения и перпендикулярную направлению движения

Тогда

но

Поэтому

Отсюда:

Это уже преобразования Лоренца в векторной форме для произвольного направления относительной скорости: формула для соответствует классической формуле (1.1), в которую она переходит при

Мы снова отложим обсуждение смысла преобразований Лоренца (2.16), чтобы получить их еще одним способом. Этот способ приведет нас к пониманию того, что реальный физический мир, в котором происходят все явления природы, представляет собой четырехмерное многообразие —-время». Специальная теория относительности предстанет перед нами как теория четырехмерного пространства-времени, как теория, имеющая прямой геометрический смысл. По физическому содержанию и возможности дальнейшего обобщения такой подход оказался чрезвычайно важным для всего нашего физического мировоззрения и первым шагом к построению теории тяготения.