§ 2. Преобразование координат при повороте декартовой системы.

Пусть в «старой» системе координат радиус-вектор точки М представляется в виде хата. После поворота системы координат радиус-вектор тон же самой точки М запишется в «новой» системе координат в виде где х — координаты точки в системе после поворота, а — новые координатные векторы. Нетрудно установить связь между координатами в старой и новой системах. Запишем равенство, выражающее «сохранение» вектора

и умножим обе его части на (т. е. на произвольный координатный вектор новой системы координат). Слева имеем

где введено обозначение таким образом, представляет собой косинус угла между вектором та старой системы и вектором ту новой. Справа имеем цепь равенств

Таким образом,

Новые координаты выражаются через старые линейно, причем коэффициентами линейного преобразования являются косинусы углов между старыми и новыми координатными осями. Нам нужно найти еще коэффициенты разложения старых координатных векторов по новым. Запишем разложение старого вектора по новым:

где а — неизвестные коэффициенты. Чтобы найти их, умножим обе части этого равенства на . Аналогично предыдущему,

Мы получили очевидный результат: в разложение единичного вектора та по новым координатным векторам в качестве коэффициентов входят косинусы

Косинусы углов между старыми и новыми векторами можно собрать в матрицу:

в обозначении первый индекс, а, указывает строку, а второй, столбец матрицы (П.1.8). Итак, преобразование координат определяется девятью коэффициентами Однако известно, что положение любого твердого тела (в нашем случае — системы координат), одна точка которого неподвижна, может быть задано тремя параметрами (три угла Эйлера). Отсюда ясно, что среди коэффициентов независимых коэффициентов всего лишь три. Нетрудно пайти соотношения, устанавливающие необходимые связи между коэффициентами Действительно, при повороте системы координат расстояние любой точки от начала отсчета не меняется: Но Чтобы возвести это выражение в квадрат, нужно перемножить суммы, индексы суммирования в которых следует взять различными:

Но, с другой стороны, это выражение равно Это может быть лишь в том случае, если

Здесь на первый взгляд девять условий, но эти равенства не меняются при перестановке индексов Р и у. Следовательно, независимых равенств здесь шесть. Каждое из них представляет собой произведение строки матрицы (П. 1.8) на строку (при перемножении строк матрицы складываются попарные произведения соответствующих элементов). Смысл равенства (П.1.9) состоит в том, что произведение любой строки на себя равно единице, а на любую другую — нулю. Поскольку порядок перемножения строк роли не играет (например, произведение первой строки на вторую равно произведению второй строки на первую), то число независимых равенств, как указывалось, не девять, а шесть.

Полученные соотношения лучше всего иллюстрируются примером попорота осей в координатной плоскости . В этом случае

причем (рис. 17.1)

и поэтому

Если перейти к привычным обозначения»! то мы получим всем известные формулы аналитической геометрии:

Этими формулами нам пришлось воспользоваться при выводе иреобра зовапий Лоренца. Мы получили формулы прямого перехода (от нетшрихованной системы к штрихованной).

Формулы обратного перехода получатся аналогичным путем. Мы их выпишем вместе с формулами прямого перехода:

причем

Рис. П. 1. Иллюстрация общих формул преобразования координат на примере поворота декартовой системы на плоскости. Такой поворот определяется одним параметром Ф. Углы между старыми и новыми координатными векторами видны на рисунке.

Конечно, формулы обратного перехода в (П.1.11) можно получить автоматически, сделан нзаимный обмеп штрихованных величин с нештрихованными и замени» угол

О на —Ф (что соответствует повороту в обратном направлении).

Как преобразуются компоненты векторов при преобразовании координат? Это нетрудно установить тем же самым приемом, которым мы пашли формулы преобразования координат. Но этого можно и не делать, заметив, что координаты — это тоже комнонепты вектора, а именно радиус-вектора. Поэтому ясно, что компоненты векторов преобразуются, как координаты, т.е.

Как мы уже упоминали, четырехмерное (исевдоевклидово) пространство, которое рассматривается в специальной теории относительности, включает в себя формально одну мпимую координату, связанную со временем:

Преобразования Лоренца соответствуют линейным преобразованиям в этом пиостранстне:

причем

здесь V — относительная скорость двух систем отсчета.

Коэффициенты преобразований Лорепца удовлетворяют следующим условиям:

Эти равенства означают, что произведение строк матрицы преобразований Лоренца дает единицу, если строка умножается сама на себя, и нуль, если строка умножается на любую другую.

Вычислим определитель матрицы Лоренца

(нроще всего разложить определитель элементам первой строки). Определитель матрицы Лоренца оказался равным единице. Это означает, что мы имеем дело с собственными преобразованиями Лоренца, т. е. но переходим от правых троек координатных векторов к левым.

Запишем прямое обратное преобразования Лорепца для координат в развернутой форме:

Что касается компонент 4-венторов, то они преобразуются, как координаты, и, следовательно, для вектора (-векторы мы отмечаем стрелками) мы получим

Из непосредственно вытекает инвариантность скалярного произведения двух 4-векторов при преобразованиях Лоренца. Действительно, пусть тогда

Сравнение второго и последнего звена выписанпой цепи равенств и доказывает инвариантность скалярного произведения