§ 6.8. Уравнения Минковского для движущихся сред (преобразование материальных уравнений).

В предыдущем параграфе мы убедились в том, что система уравнений Максвелла (6.56), (6.57) сохраняет свой вид во всех инерциальных системах отсчета. Однако уравпения Максвелла позволяют дать однозначную картину электромагнитных явлений лишь в том случае, когда заданы материальные уравнения, характеризующие ту среду, в которой разыгрываются электромагнитные явления. Как обычно, назовем систему отсчета, в которой среда (или участок среды) покоится, сопутствующей системой. Для однородной изотропной среды материальные уравнения в сопутствующей системе имеют вид

причем диэлектрическая проницаемость магнитная проницаемость и проводимость а являются константами. Пусть рассматривается движение среды относительно «лабораторной» системы. В системе, сопутствующей среде, справедливы уравнения Максвелла для неподвижной среды. В силу принципа относительности материальные константы , а должны быть одинаковыми как для неподвижной среды в «лабораторной» системе, так и в системе отсчета, сопутствующей среде. Поскольку известны формулы

преобразования векторов Е, В, Н и D, можно записать связь между ними в любой другой инерциальной системе, отличной от К. Выпишем нужные формулы преобразования, разбив их на продольную и поперечную (по отпотепию к скорости системы отсчета V) части (см. § 6.4):

Еще раз напомним, что все выражения типа равны нулю для любого А, поскольку берется проекция на направление скорости, а векторное произведение перпендикулярно скорости V. Если подставить соответствующие выражения в (6.68) и (6.69), то как для продольных, так и для поперечных компонент (для которых множитель Г сократится) мы придем к одним и тем же соотношениям, которые можно объединить следующим образом:

Уравнения (6.74) и (6.75) носят название уравнений Минковского; входящие в эти формулы, — это диэлектрическая и магнитная проницаемости покоящейся среды. Существенным отличием (6.74) и (6.75) от (6.68) и (6.69) является то, что теперь уже в каждом из уравнений перепутываются все четыре вектора поля. Нетрудно с помощью (6.75) исключить В из (6.74) и получить уравнение для трех векторов или же исключить из (6.75), воспользовавшись (6.74).

Уравнения выглядят проще, если записать их отдельно для продольпых и поперечных составляющих:

Первое равенство (6.77) получается из (6.74), если в него подставить выражение для В из (6.75) и затем взять только поперечную составляющую получившегося соотношения (аналогично получается второе равенство в (6.77)).

Из этих формул видно, что если в сопутствующей системе К для изотроппой среды векторы В и Н, а также и Е совпадают по направлению, то в других системах отсчета это уже не имеет места.

Конечно, когда речь идет о движении среды, чаще всего интересен случай перелятивистских скоростей. Тогда, если в (6.77) пренебречь членами по сравнению с единицей — показатель преломления среды, см. гл. 7), формулы (6.76), (6.77) запишутся более просто:

Эта форма материальных уравнений, записанных для движущейся среды, используется очень часто. Как это и должно быть согласно равноправию всех ИСО в вакууме, последние соотношения для этого случая переходят в (6.68) и (6.69).

Полезно переписать материальные уравнения (6.68)-(6.70) в четырехмерной тензорной форме. Мы не станем выводить эти уравнения, а просто выпишем их и затем проверим, что втой системе, где среда покоится, мы приходим к (6.68) — (6.70). Введем четырехмерную скорость среды где мы пишем Г, так как скорость тела или среды V мы считаем равной скорости системы отсчета К. В сопутствующей системе К 4-скорость V имеет компоненты

Как легко проверит читатель, тензорные уравнения

если подставить в них компоненты V, приводят к (6.68), (6.69) и (6.70) соответственно.

В уравнениях (6.79) и (6.80) ведется суммирование по к. Всего уравнений четыре, но для мы получаем тождество, так что уравнений фактически три. В уравнении (6.80) нужно перебрать все сочетания к и I из четырех возможных значений 1, 2, 3, 4 по три. Всего таких сочетаний но сочетание 1, 2, 3 дает тождество, и опять мы приходим к трем уравнениям, как и должно быть. Получив правильные выражения для материальных уравнений в системе К, мы убеждаемся в правильности тензорной записи.

Покажем применение тензорной записи на примере соотношения (6.81). Пусть в сопутствующей системе (там, где среда

покоится) существует плотность тока, а плотность заряда равна нулю, т. е. Скорость среды в системе К есть . Найдем компоненты

аналогично окажется, что Четвертая компонента

Но в той системе отсчета, относительно которой среда движется,

так как

Окончательный результат очевиден:

Его смысл вполне ясен: плотность тока в среде с проводимостью а обусловлена величиной электрического поля в этой среде, которая согласно (6.41) как раз и является множителем при а, если положить

Четвертое уравпепие определяет плотность заряда, связанную с током проводимости:

или

в полпом согласии с (6.24).

Теперь следует остановиться на том, как выглядит закон Ома для движущихся сред, т. е. материальное уравнение (6.70). Мы обнаружим, что конвекционный ток и ток проводимости тесно переплетены между собой, как это сразу очевидно после объединения в единый 4-вектор. Различие между конвекционпым током и током проводимости обусловлено выбором системы отсчета. Естественно поэтому, что оба тока на равных правах порождают магнитное поле.

Будем считать, что ток проводимости представляет собой движение зарядов относительно среды, тогда как конвекционный ток возникает из-за наличия зарядов в среде благодаря движению самой среды.

Допустим, что в некоторой системе К есть ток проводимости , кроме того, плотность заряда Эти величины совместно образуют 4-ток, который может быть по формулам (6.15а) преобразован к любой системе отсчета. Выразив компоненты и плотность р через, и р в системе отсчета К, мы получим

Из первой формулы (6.84) видно, что ток проводимости включает в себя конвекционный ток и поэтому он уже не пропорционален а. Это неудобно, потому что при ток проводимости должен обращаться в нуль. Как выделить ток проводимости в общем случае? Для этого вспомним, что если в К есть плотность заряда то в любой другой системе К мы получим 4-плотность тока (6.20):

где -скорость заряда. Этот ток следует назвать конвекционным, в связи с чем в (6.85) появился верхний индекс Допустим, что нам задан 4-ток с компонентами мы хотим разложить его на сумму тока проводимости и конвекционного тока. Прежде всего выразим через и V. Умножив обе части на соответствующие компоненты и сложив, получим по но поэтому

Следовательно, конвекционный ток может быть записан в виде

Чтобы получить компоненты 4-тока проводимости, нужно из компонент вычесть компоненты (6.87):

С другой стороны, согласно (6.81) величина может быть записана в виде

Приравняем эти выражения:

Вспоминая определения мы получим в трехмерной форме

Выделим в соотношении (6.91) члены, пропорциональные проводимости а. Умножим левую и правую части (6.9 1) на Вводя обычные обозначения у и получим

или же

Подставляя (6.92) в (6.91), получим окончательно

Таким образом, «током проводимости» можно назвать величину Часто пользуются обозначением Е для поля, действующего в веществе, с точки зрения системы отсчета, относительно которой это вещество движется:

Тогда (6.93) можно переписать в виде

Эта формула очень напоминает формулу преобразования силы (5.35). Для того чтобы переход к уравнениям электродинамики движущихся сред был завершен, необходимо выяснить еще, как записать граничные условия, когда грапица раздела сред движется. Условие непрерывности нормальных компонент индукции следует из уравнений которые, согласно (6.66) и (6.60), сохраняют свой вид при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Поэтому на границе раздела

Что касается граничных условий для тангенциальных компонент напрйженностей полей, то, рассматривая сначала сопутствующую границе раздела систему отсчета К, мы имеем в этой системе условие непрерывности тангенциальных компонент и Н. Но с точки зрения системы К, относительно которой граница раздела движется со скоростью поля Е и Н имеют вид (6.41) и (6.43):

Проведем нормаль к поверхности раздела а проекцию скорости на нормаль обозначим через Найдем проекции (6.97) на плоскость, перпендикулярную Имея в виду, что мы запишем равенство виде

т. е.

или

Поскольку (согласно (6.96)), окончательно получим

и аналогично

Это и есть, наряду с (6.96), граничные условия для векторов поля.