Глава 7. ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Свет, как частный случай электромагнитных волн, описывается теорией Максвелла. Теория Максвелла, как мы убедились в предыдущей главе, удовлетворяет всем требованиям теории относительности и поэтому должна правильно описывать свойства такого типично релятивистского объекта, каким является свет. Но и в теории относительности распространение света в вакууме занимает особое место. Мы уже подчеркивали, что скорость света в вакууме — это верхний предел возможной скорости передачи сигнала и недостижимая граница скорости для тел, обладающих конечной массой покоя. Кроме того, основой всей СТО является утверждение о том, что скорость света в вакууме имеет одно и то же значение, в какой бы ИСО ее ни определяли.

Теория Максвелла — макроскопическая теория. В этой главе удобно привлечь также микроскопическую и даже отчасти квантовую картину. Речь идет о введении фотонов. В некотором отношении введение квантовых представлений ведет к очень наглядной картине. Использование теории относительности становится просто необходимым, когда рассматриваются оптические явления, связанные с относительным движепием тел (доплер-эффект, аберрация).

§ 7.1. Свойства плоских световых волн.

Теория Максвелла показывает, что в однородной изотропной среде проводимость которой равна нулю, зависящие от времени векторы поля Е и Н (так же как и нронорциональпые им D и В) удовлетворяют волновым уравнениям

Это означает, что в однородной непроводящей среде могут распространяться волны, фазовая скорость которых , определяется исключительно свойствами среды. Одно из возможных решений (7.1) — плоские волны:

где — круговая частота (предполагается, что векторы поля зависят от времени по гармоническому закону, волновой вектор к направлен по нормали к поверхности равных фаз (волновой фронт)). Из (7.1) следует, что абсолютная величина волнового вектора к равна если речь идет о распространении волн в среде, и , если волна распространяется в вакууме. Поскольку можно написать в общем случае

где — единичный вектор в направлении распространения. Для вакуума Фаза волны (7.2) есть , поэтому поверхность равных фаз определяется уравнением . В данный момент времени она представляет собой плоскость вектор нормали к которой направлен по к — это обычный трехмерный радиус-вектор). С течением времени эта плоскость перемещается в пространстве параллельно самой себе согласно уравнению

Плоские волны (7.2) должны удовлетворять не только волновым уравнениям (7.1), но и уравнениям Максвелла (6.56) и (6.57) в отсутствие зарядов и токов подставляя (7.2) в уравнения Максвелла, можно прийти к следующим результатам. В плоской волне, распространяющейся в однородной среде, векторы М, Ник образуют правую тройку, т. е. они взаимно перпендикулярны и векторное произведение любой пары из них, взятой в указанном порядке, определяет направление третьего вектора.

Что касается соотношения между амплитудами, то справедливо соотношение т. е. для вакуума, где мы получим .

Вектор Пойнтинга направлен по направлению вектора к, а его абсолютная величина равна произведению плотности энергии в плоской волне на скорость распространения волны или , где — плотность энергии в электромагнитной волне. Этот результат имеет ясный физический смысл: вектор Пойнтинга определяет поток энергии через единицу площади в единицу времени через площадку, расположенную нормально к падающей волне. Но через единичный участок такой площадки за единицу времени нройдет вся энергия, заключенная в цилиндре, направляющей которого служит контур единичной площадки, а образующими — прямые, параллельные направлению распространения волны. Высоту цилиндра нужно взять равной . Величина определяет в этом случае объем построенного цилиндра, а произведение — содержащуюся в цилиндре энергию электромагнитного поля. Все это и дает Отметим еще, что в

плоской волне

а в вакууме

Импульс единицы объема (плотность импульса) электромагнитного поля в вакууме равен Для плоской волны в вакууме, где получим откуда

Вопрос о плотности импульса поля в среде будет рассмотрен в § 7 этой главы. Вспоминая инварианты электромагнитного поля (§ 6.5), мы обнаруживаем, что для плоской волны в вакууме оба инварианта обращаются в нуль. Это означает, что в любой системе векторы Е и Н плоской волны ортогональны, а соотношение между их амплитудами всегда одно и то же. В системе К плоская волна должна иметь вид

Состояние волпы в мировой точке т.е. фаза волны, не может зависеть от выбора системы отсчета, поэтому фаза должна быть инвариантом преобразований Лоренца. Следовательно,

Подставляя формулы преобразования для х, в правую часть (7.6), получим

Это — тождество относительно Учитывая, что — единичныи вектор, совпадающий по направлению с к), мы получим

Из этих формул можно легко получить формулы, описывающие эффект Донлера (изменение длины волны света, испускаемого движущимся относительно наблюдателя источником) и аберрацию <вета (изменение направления наблюдаемого луча света при переходе от одной инерциалыюй системы к другой); однако, чтобы не повторяться, мы получим формулы (7.7) сначала несколько иначе, а затем уже, в следующем параграфе, займемся их следствиями.

Мы хотим сразу стать на четырехмерную точку зрения. Было уже отмечено, что фаза должна быть инвариантом

преобразований Лоренца. Но это выражение автоматически становится инвариантом, если представить его как скалярное произведение 4-векторов (инвариантность скалярного произведения доказана в Приложении I, § 4). Для этого, наряду с 4-радиус-вектором , достаточно ввести 4-волновой вектор к

Тогда Введение 4-волнового вектора к удобно прежде всего потому, что мы сразу же получаем правило преобразования его компонент при переходе от одной ИСО к другой. Если плоская световая волна распространяется в системе К, то при переходе к системе К меняется как направление распространения световой волны, так и наблюдаемая частота. Мы увидим, что изменяется также и амплитуда плоской волпы. Формулы преобразования величип, характеризующих световую волну в системах отсчета К и К, можно легко получить, если учесть, что в плоской световой волне обычный волновой вектор совместно образуют 4-вектор k.