§ 6.14. Потенциалы поля в движущейся непроводящей среде.

В § 6.1 был введен 4-потенциал электромагнитного поля в вакууме. Конечно, электромагнитное поле можно определить сразу уравнений Максвелла, не вводя потенциалов. Но во многих случаях использование потенциалов — как промежуточных величин

для определения полей и В — оказывается весьма удобным, хотя бы потому, что уменьшается число функций, подлежащих определению. Зная всего лишь четыре компоненты вектор-потенциала, можно найти с их помощью все составляющие электрического и магнитного полей! Удобство использования потенциалов еще ярче проявляется в электродинамике движущихся сред, где материальные уравнения (6.74) и (6.75) оказываются значительно сложнее, чем в случае покоящейся среды.

Ниже будет показано, как можно получить выражения для потенциалов поля в движущейся среде. В качестве примера применения таких потенциалов будет рассмотрено распространение плоской электромагнитной волны в среде, которая движется относительно неподвижного наблюдателя. Этот пример имеет самое непосредственное отношение к вопросам, разбираемым в гл. 7. В данном параграфе используется аппарат тензорной алгебры, краткие сведения о котором можно найти в Приложении I, § 3.

Перейдем к выводу уравнепий для 4-потенциала в движущихся средах. Поле в движущейся среде будем описывать двумя тензорами: тензором (см. (6.29)) и тензором (см. (6.31)). Тензор называют иногда тензором поля, а тензор — тензором индукции.

Введем четырехмерный потенциал поля в среде Ф, определив его следующим соотношением:

совпадающим с формулой (6.28). Зная четыре компоненты потенциала мы можем по этой формуле определить все компоненты тензора , т. е. магнитную индукцию В и электрическое поле . Для полного описания электромагнитного поля в среде необходимо знать еще компоненты тензора , т. е. составляющие векторов магнитпого ноля и электрической индукции. Если известен тензор поля тензор индукции можно определять с помощью материальных уравнений (6.79) и (6.80), устанавливающих связь между компонентами этих двух тензоров (напомним, что в векторной форме соотношение между тензорами и записано уравнениями Минковского (6.74) и

Материальные соотношения (0.79) и (6.80), определяющие Ьвязь между тензорами и можно записать в виде одного тензорного соотношения:

где тензор четвертого ранга еподбирается так, чтобы выполнялись соотношения Минковского (6.74) и (6.75). Нетрудно

показать, что нужными свойствами обладает тензор следующего вида:

Здесь — символ Кронекера, определенный формулой — компопепты четырехмерной скорости. определенной

в гл. 5 и имеющей компоненты где V — трехмерная скорость перемещения среды. Безразмерная константа и определяется через показатель преломления

Нетрудно видеть, что в пустоте и связь (6.200) между тензорами и принимает вид

который соответствует известным соотношениям между полями и индукциями в вакууме:

В покоящейся среде тензор вида (6.201) дает между полями и ипдукциями соотношения

В этом легко убедиться, если в формуле (6.201) положить

Поскольку компоненты тензора выражаются через компоненты четырехмерного потенциала а компоненты тензора индукции связаны с соотношением (6.200), можно выразить а компоненты тензора через компоненты четырехмерпого потенциала Иными словами, знание четырех функций Ф; оказывается достаточным для определения всех компонент полей и индукций в движущейся среде.

Перейдем теперь к выводу уравнений для потенциалов поля в движущейся среде. Для этого воспользуемся уравнением (6.60):

Подставим в это уравнение в виде (6.200). Тогда получим

Используя явное выражение (6.201) для тензора а также формулу (6.28), выражающую через компоненты потенциала после несложных преобразований приведем уравнение (6.206)

к виду

Умножим обе части уравнения (6.207) на тензор

Воспользовавшись легко проверяемым соотношением

получим окончательно

Система уравнений (6.209) определяет все компоненты потенциала по заданным источникам поля в движущейся среде.

Эта система может быть упрощена, если на потенциалы наложить удачно выбранное дополнительное условие, например потребовать, чтобы выполнялось следующее соотношение:

Это условие является обобщением известного условия Лоренца, налагаемого на потенциалы в вакууме (см. (6.8)). Возможность удовлетворить условию (6.210) доказывается так же, как и в обычной электродинамике.

При выполнении условия (6.210) система уравнений (6.209) упрощается и принимает следующий вид:

Система (6.211) более удобна по сравнению с системой (6.209) в том отпошении, что она состоит из четырех уравнений, в каждое из которых входит только одна компонента вектор-потенциала . Решение системы (6.211) при заданных внешних источниках полностью определяет поле, создаваемое этими источниками в движущейся среде.

Если в движущейся среде имеется граница раздела, то система (6.211) должна быть дополнена соответствующими граничными условиями (см. § 6.8).

В качестве примера решения получеппых уравнений рассмотрим электромагнитное поле в движущейся среде в отсутствие внешних источников (токов и зарядок). Поскольку в этом случае все система (6.211) превращается в систему четырех однородных уравнений:

В силу дополнительного условия (6.210) из четырех величин только три являются независимыми. Поэтому мы можем положить три остальные величины будем считать компонентами некоторого вектора, который обозначим через А. Мы видим, таким образом, что при такой калибровке вектор-потенциал для движущейся среды является трехмерным векторным потенциалом А.

В этом случае из системы уравнений (6.212) получается следующее уравнение для нотенциала А:

где дополнительном условии

которое следует из дополнительного условия (6.210) при . Если известно решение уравнения (6.213) для потепциала А, то поля 2? и В могут быть выражены через А по формуле (6.28), которая в нашем случае принимает простой вид:

Зная мы можем найти и с помощью материальных уравнений Минковского для движущейся среды (6.74) и (6.75).

Уравнепие (6.213) определяет распространение свободных электромагнитных волн в движущейся среде (под свободными электромагнитными волнами обычно подразумевается поле в отсутствие зарядов и токов). Перейдем теперь к решению этого уравнения. Будем искать вектор-потенциал в виде плоской электромагнитной волны:

Подставляя это выражение в уравнепие (6.213), получаем

Из соотношения (6.217) видно, что амплитуда плоской волны отлична от нуля только для таких волп, для которых выполнепо

условие

Уравнение (0.218) пструдио вывести из диверсионного уравнения, справедливого для плоских монохроматических воли в покоящейся среде:

Мы перепишем его в виде

В скобки мы заключили инвариантную относительно преобразований Лоренца величину — квадрат четырехмерного волнового вектора в вакууме к . Величина в скобках сохраняет во всех инерциальных системах отсчета свой вид и численное значение. Второе слагаемое последнего равенства преобразуется как частота . В системе отсчета, в которой среда движется со скоростью V, вместо следует написать

(см. по этому поводу § 7.2).

В силу этих соображений в системе отсчета, относительно которой среда движется со скоростью V, диснерсионное уравнение как раз и приобретает вид (6.218):

Это условие определяет связь между волновым вектором и частотой плоской электромагнитной волны, распространяющейся в движущейся среде. Дополнительные условия (6.214) для такой волны принимают вид

Из условия обращения в нуль скалярного произведения (6.219) следует, что в движущейся среде вектор перпендикулярен не направлению распространения волны, определяемому волновым вектором к, а линейной комбинации волнового вектора к и вектора скорости среды V. В двух частных случаях — когда волна распространяется в вакууме также когда среда покоится — условие (6.219) переходит в известное условие поперечности свободных электромагнитных воли: из которого следует, что в свободной электромагнитной волпе векторы

направлены перпендикулярно волновому вектору, т. е. направлению распространения волны. В движущейся среде такая поперечпость волн, вообще говоря, не имеет места. Действительно, для плоской волны (6.216) поля определяются по формулам (6.215):

Отсюда видно, что вектор В перпендикулярен волновому вектору к, а вектор Е — нет (в силу условия (6.219) вектор не является поперечным).

В уравнение (6.217), связывающее между собой волновой вектор к и частоту со волпы в движущейся среде, входит скалярное произведение Это значит, что условия распространения волны зависят от того, какой угол составляет направление распространения (или, что то же самое, волновой вектор к) со скоростью среды V. Это обстоятельство отражает явление увлечения света движущейся средой. Рассмотрим это явление подробнее для случая малых скоростей. Будем считать, что величина является малой, и опустим в уравпепии (6.218) все степени В выше первой. Мы получим

или

Решая в том же приближении полученное квадратное уравнение для получим

Из двух знаков перед первым слагаемым в правой части нужно выбрать зпак плюс, так как при мы должны получить известное соотношение между и к в покоящейся среде:

здесь мы ввели показатель преломления покоящейся среды . Величина — фазовая скорость света в покоящейся среде.

Если угол между векторами обозначить через Ф, соотношение (6.220) при указанном выборе знаков примет вид

Величина в выражении (6.222), так же как и в случае покоящейся срзды — см. (6.221), - определяет фазовую скорость

света, на этот раз в движущейся изотропной среде. Сравнивая выражения (6.222) и (6.221), мы видим, что фазовая скорость света в движущейся среде различна в различных направлениях. Если свет распространяется по движению среды то фазовая скорость равна

Если свет распространяется против движения среды то

Множитель — это так называемый коэффициент увлечения света, экспериментально измеренный Физо в опыте, где движущейся средой была вода.