§ 5.4. Релятивистское выражение для энергии частицы.

Заметим, что формула (5.31) может быть получена не только как четвертая компонента (5.23), но и прямо из (5.376), в точности так как в классической механике (5.20) есть следствие (5.19). Чтобы убедиться в этом, умножим скалярно на левую и правую части

(5.386); получим

Это и есть формула (5.31), если учесть (5.14). С другой стороны, четвертая компонента (5.23) оказалась законом сохранения энергии. Выражение для энергии (5.32) существенно отличается от классического. В механике Ньютона считалось, что энергия покоящегося свободного тела (т. е. тела, не обладающего потенциальной энергией) равна нулю, откуда однозначно вытекала определение кинетической энергии . В релятивистской механике полную энергию свободпой частицы определяют как Это энергия полная в том смысле, что она включает в себя и ту эпергию, которой обладает тело, когда оно покоится (эта энергия равна Но мы говорили, что из (5.31) выражение для энергии определено лишь с точностью до постоянной, и, выбрав должным образом постоянную (положив — ), можно было бы, как и в механике Ныотона, считать, что энергия покоящегося тела равна нулю. Но так поступить в СТО нельзя. В механике СТО нельзя забывать ни о правилах преобразования различных величин, о принципе соответствия с классической механикой (в предельном случае должно быть совпадение многих классических и релятивистских величин). Известно, что преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея при малых относительных скоростях систем отсчета ; при малых скоростях частиц ) трехмерный релятивистский импульс переходит в трехмерный классический импульс,

Допустим, что мы определили полную энергию свободной релятивистской частицы в виде ; тогда в предельном случае мы получили бы . Рассмотрим теперь преобразование компонент 4-импульса при переходе от одной ИСО к другой. Его нужно производить по формулам

Подставляя значения компонент 4-импульса из (5.21), получим

где — компоненты трехмерного релятивистского импульса . В предельном случае, соответствующем переходу к классической механике, когда , соответственно, из первого

равенства (5.43) следовало бы Но из последнего равенства должен вытекать классический закон сложения скоростей Это будет так, если . Этим и доказывается справедливость (5.32). Следует отметить, что цринщш соответствия между классическим и релятивистским выражениями энергии не соблюдается только потому, что из механики Ньютона нельзя обнаружить существование энергии покоя и аддитивная константа была выбрана без учета энергии покоя (см. ниже).

Из (5.32) видно, что полная энергия не обращается в нуль даже тогда, когда скорость тела равна нулю при Энергия свободной частицы в системе, где она покоится, равна и называется энергией покоя Хотя до сих пор речь шла о частице, но ее элементарность по входила в рассуждения. Поэтому все полученные формулы вполне применимы к любому сложному телу (системе), образованному несколькими составляющими. Естественно, что будет тогда полной массой тела, скоростью его движения как целого. Формула справедлива для любого покоящегося как целое тела. Следовательно, масса покоя тела определяет полное содержание энергии в нем, независимо от того, каково происхождение этой энергии.

В классической механике энергия покоящегося тела может быть как положительной, так и отрицательной: она определена с точностью до постоянной величины. В релятивистской механике энергия свободного тела (энергии любой замкнутой системы) всегда положительна и связана с массой покоя тела; масса покоя тела определяет энергию покоящегося тела. Инерция тела оказалась мерой энергии тела. Всякое изменение эпергии тела на величину ведет к изменению массы этого тела на

Возникает вопрос: как могла остаться незамеченной столь большая энергия, какой является энергия покоя любого тела? Ведь вещества содержит в себе По ведь существенно не то, сколько энергии содержит та или иная система, а то, какая часть энергии может быть использована. Хотя любая масса содержит колоссальный запас энергии, реализовать ее совсем не просто. Лишь в самое последнее время научились использовать атомную энергию. Вплоть до недавнего времени энергия покоя просто не реализовывалась (соответственно этому всегда сохранялась масса). Поскольку реализуемая энергия всегда представляет собой разность энергий, наличие энергии покоя никак не проявлялось.

В силу того, что весьма велико, изменение массы при изменении энергии тела очень мало и в большинстве случаев экспериментально не обнаруживается, несмотря на то что взвешивание всегда было одним из самых точных измерений. Так, например,

нагревание 1 кг воды на 100° изменяет массу воды всего лишь на . Столь незначительное изменение массы нельзя обнаружить даже с помощью самых чувствительных современных весов. Однако изменение массы при образовании ядер вполне ощутимо; более того, именно по дефекту масс определяется энергия связи (см. § 5.6).

В релятивистской механике кинетическую энергию естественно определить как ту часть энергии частицы, которая обращается в нуль при Эта часть энергии получается вычитанием энергии покоя из выражения полной энергии:

К тому же самому результату можно прийти, вычисляя работу силы согласно уравнению релятивистской динамики:

Отсюда

Если при при то откуда снова .

Найдем условия, при которых выражение (5.44) переходит в выражение для классической кинетической энергии. Разлагая у В ряд:

мы видим, что

т. е. классическая кинетическая энергия имеет смысл постольку, поскольку и можно пренебречь членом

Если ввести обозначения для классической кинетической энергии а для релятивистской Грел, то (5.45) можно переписать в виде

или, для отношения

В ядерной физике, где требуется более точное определение «границы применимости ньютоновской механики», принимают,

что если второй член справа меньше одного процента (мы помним, что и ряд быстро убывает). Следовательно, границу (условную, конечно) можно определить из равенства

Поскольку причем для частицы можно говорить о релятивистских скоростях, когда полная энергия частицы существенно превышает ее массу покоя, т. е. вводить условие Конечно, качественно оба условия эквивалентны, но следует иметь в виду, что, когда скорость приближается к своему пределу энергия стремится к бесконечности. Поэтому совсем небольшие изменения скорости вблизи с могут значительно изменить энергию частицы.

В ядерной физике удобнее оперировать энергиями частиц, а не их скоростями. Энергетические границы классической механики будут, конечно, различными для частиц различной массы. Например, для электронов эта граница равна а для протонов — (вам полезно самим получить эти цифры!).

Выражение (5.32) для энергии с учетом выражения для нулевой энергии можно записать в виде

В энергию покоя входят все виды энергии, которыми обладает тело (или система). Из (5.46) видно, что при переходе от собственной (сопутствующей) системы к любой другой инерциальной системе все виды энергии возрастают в 7 раз. Ничего похожего на этот результат в классической механике не было. С другой стороны, при и полная энергия частицы (5.32), и кинетическая энергия (5.45) неограниченно возрастают. Этот результат имеет ясный физический смысл. Частица, масса покоя которой не равна нулю, не может достичь скорости, равной с. Это видно из того, что для достижения такой скорости ей следовало бы сообщить бесконечную энергию. Здесь спова проявляется предельный характер скорости света в вакууме. Если интерпретировать световые кванты (фотоны) как релятивистские частицы (см. § 7.6), то следует иметь в виду, что они принадлежат к другому классу частиц, и не могут быть порождены ускорением обычных частиц, т. е. в результате динамического процесса. В природе осуществляется предельный переход но в этом переходе никогда достигается предельная точка