§ 3.7. Метод k-коэффициента (радиолокационный метод).

Ниже излагается изящный метод получения основных следствий постулатов Эйнштейна. Этот метод можно было бы изложить короче, ссылаясь на результаты, полученные ранее другими способами. Но мы сознательно идем на пекоторое повторение, чтобы этот параграф был более или менее самостоятельным.

Особенностью этого метода (вплоть до вывода преобразований Лоренца) является то, что он не требует явного использования координатного метода. Хотя ниже используются графические иллюстрации с координатами, они носят лишь вспомогательный характер: для изложения они не обязательны, но полезны тем, кто знаком с пространственно-временными диаграммами.

Рассматривается только одна пространственная координата: многие особенности СТО обнаруживаются уже в этом случае, который проще и допускает наглядные иллюстрации. Итак, пусть все события наступают на оси х (и соответственно на совпадающей с пей оси х системы К, см. рис. 1.2). Все рассуждения, используемые в методе -коэффициента», представляют собой мысленные эксперименты, состоящие в основном в обмене световыми сигналами в вакууме; речь будет идти о посылке, отражении и приеме световых сигналов. Такая игра в световые зайчики в конечном счете позволяет получить основные следствия постулатов Эйнштейна.

Основное предположение, которое делается в методе -коэффициента, опирается на эффект Доплера (см. § 3.3). Для одномерною случая речь идет всегда о продольном доплер-эффекте. Итак, если в некоторой точке системы К расположен неподвижный радиолокатор, испускающий короткие импульсы через промежуток времени (период) Т, наблюдатель из системы К, удаляющийся от этого локатора с иостоянной скоростью, обнаружит, что интервал между приходом световых импульсов будет уже иной, несмотря на то что часы, закрепленные вместе с локатором, и часы наблюдателя в К идут совершенно одинаково.

Будем говорить для простоты речи не о локаторе и приемнике, а о двух наблюдателях А и А, покоящихся соответственно в системах отсчета К и К. Итак, если наблюдатель А посылает световые сигналы, разделенные друг от друга по его часам интервалом времени Г, то наблюдатель А будет принимать эти сигналы (по своим часам) уже через другой интервал времени. Обозначим этот интервал времени через Так появляется -коэффициент, основная величина в рассматриваемом методе.

Подчеркнем, что промежутки времени Т и - это промежутки времени между посылкой первого и второго сигнала наблюдателем А и приемомэтих сигналов наблюдателем А, отмеченные по часам, покоящимся соответственно в системах К и К.

Исходя из основных свойств пространства и времени — их однородности и изотропности, — можно считать, что коэффициент к не зависит ни от положения приемника и источника, ни от времени посылки и приема сигнала, ни от направления посылки сигнала (другими словами, направление общей оси может быть выбрано в пространстве произвольно). Конечно, этот коэффициент не зависит и от промежутка времени между посылкой

сигналов. Он может зависеть только от относительной скорости наблюдателей А и А. Действительно, опыт учит, что изменение частоты света при доплер-эффекте зависит только от скорости относительного движения.

Причина появления коэффициента к очевидна. Пусть наблюдатель А находится в начале отсчета системы К и посылает световые сигналы наблюдателю А, находящемуся в начале отсчета системы К. Система К удаляется вправо от системы К. Пусть первый сигнал посылается в момент времени Тогда нетрудно определить момент времени по часам А, когда наблюдатель А примет этот сигнал. Действительно, сигнал, идущий со скоростью с, должен за время пройти, во-первых, путь который разделял наблюдателей А и А в момент во-вторых, путь который за время пройдет наблюдатель откуда Второй сигнал испущен в момент , поэтому он дойдет до А за время определяемое из соотношения откуда Разность показывает промежуток времени между приемом сигналов наблюдателем А. Однако мы вовсе не получили выражения для коэффициента к, как это могло бы показаться. Ведь коэффициент к должен появиться тогда, когда мы найдем промежуток времени между приемом сигналов по часам наблюдателя А. Но связи между показаниями часов А и А у нас пока нет.

До сих пор мы использовали только однородность и изотропность времени и пространства. Теперь мы используем постоянство скорости света в вакууме. Постоянством света в вакууме во всех ИСО нам придется пользоваться очень часто. Это условие можно сформулировать так: «свет не может обгонять свет». Сейчас же мы переходим к вопросу, который явно использует равноправие всех инерциальных наблюдателей (т. е. первый постулат Эйнштейна).

Мы приняли, что сигналы, посланные наблюдателем А через промеясуток времени Т, будут приняты наблюдателем А (по его часам) с интервалом . В силу равноправия наблюдателей мы должны считать также, что сигналы, посланные наблюдателем А с интервалом Т, будут приняты наблюдателем А также с интервалом (принцип относительности для двух инерциальных наблюдателей А и А).

Стоит заметить, что это предположение в сильнейшей степени опирается на тот факт, что в вакууме никакой среды, в которой распространяется свет, не существует. Если бы такая среда существовала, коэффициент к должен был бы зависеть от скоростей наблюдателей А и А относительно этой среды. Именно

такая среда (эфир) больше всего волновала умы физиков XIX века; она явилась причиной драматических ситуаций, предшествовавших появлению СТО (см. Дополнение II). Сейчас уже вполне разумно сразу принять современную точку зрения.

Теперь мы найдем явное выражение коэффициента к через скорость относительного движения. В этой процедуре нам не понадобится ничего, кроме нескольких мысленных опытов, связанных с посылкой, приемом и отражением световых сигналов. Отражение, если угодно, можно трактовать как посылку сигналов «наблюдателем» в обратном направлении в тот самый момент, когда он принимает прямой сигнал.

Пусть первый сигнал от наблюдателя А к наблюдателю А послан в тот момент, когда системы и К совпадают. Наблюдатели А и А, каждый из которых находится в начале отсчета своей системы, в этот момент тоже находятся в одпойи той же точке.

Естественно, что передача этого сигнала от к А, а также обратного сигнала от А к А не требует никакого времени. Спустя промежуток времени Т по своим часам А посылает световой сигнал к наблюдателю который получит его через промежуток времени после получения первого сигнала. Пусть наблюдатель А незамедлительно по получении второго сигнала пошлет световой сигнал обратно к А (это то же самое, что и зеркальное отражение). По часам наблюдателя А два сигнала разделены промежутком времени Значит, ответный сигнал пойдет от к А через этот промежуток времени. Но наблюдатель А примет его уже не через промежуток времени для него этот промежуток времени увеличится еще в к раз и станет равным Значит, но часам А второй обратный сигнал будет получен в момент Следовательно, с точки зрения наблюдателя А весь путь второго сигнала (посланного в момент Т) к наблюдателю А и обратно занял время . Так как скорость света одинакова при распространении света как в прямом, так и обратном направлениях, то время распространения света от А к (или обратно) равно . Отсюда ясно, что радиолокационное определение расстояния между (в момент отражения даст величину .

Таким образом, мы определили расстояние между наблюдателями А и А в тот момент, когда происходит отражение сигнала. Но в какой момент по часам А произошло отражение? Обратим внимание на то, что речь идет о часах, расположенных около наблюдателя А, а рассматривается событие (отражение сигнала в точке, где находится в удаленной от А точке. В этом случае мы не можем непосредственно измерить время наступления

события, а должны этому событию определенный момент времени приписать.

Второй световой сигнал был послан в момент времени Т, а был принят обратно в момент . Поэтому момент времени отражения определится как . Следовательно, за промежуток времени — наблюдатель А сместится на расстояние от наблюдателя А. А это значит, что относительная скорость наблюдателя А

Отсюда мы получим

Сразу же выпишем две формулы, которые нам понадобятся ниже:

Очень удобно воспользоваться графической схемой, позволяющей наглядно представить полученные результаты. Введем декартову систему координат на плоскости с осями Мы увидим ниже, что выбор пространственных и временных координат одинаковой размерности просто неизбежен. Пока же мы будем просто откладывать по оси ординат величину пропорциональную времени: На рис. 3.9 проведены оси х и . Каждая точка в этой плоскости представляет собой событие, определяемое координатами Движение тела — это последовательность событий, состоящих в приходе тела в данную точку в данный момент времени, изображается в виде некоторой кривой в плоскости

Равномерное движенце тела изображается на этой плоскости некоторой прямой. Распространение светового луча со скоростью с изображается биссектрисой (уравнение проходящей через I и III квадранты, если свет идет в положительном направлении оси х, и через квадранты II и IV, если свет идет в

противоположном направлении. Поскольку скорость тела всегда меньше скорости света, равномерное движение любого тела изобразится прямой, составляющей с угол, меньший чем

Легко найти точки плоскости, отображающие движение наблюдателей А и А. В системе К (которая и изображена на рис. 3.9) наблюдатель А покоится (мы будем считать, что он находится в точке ). Тогда его «мировая линия», т. е. последовательность точек на плоскости соответствующих событиям, состоящим в том, что он находится в данной точке в данный момент времени, будет просто осью ординат. Итак, ось ординат — это мировая линия наблюдателя А. Мировая линия наблюдателя в системе К — это прямая, наклоненная к оси под углом а, тангенс которого определяется соотношением Если в момент наблюдатели А и А находились в одной точке, мировая линия наблюдателя А проходила через начало отсчета О. Посылка и прием световых сигналов наблюдателем А на графике изображаются следующим образом.

Рис. 3 9. Графическая иллюстрация к определению относительной скорости днух наблюдателей.

Первый «обмеп» сигналами происходит в точке О. Затем, спустя промежуток времени Т (в мировой точке наблюдатель А посылает световой сигнал. Его распространение описывается прямой параллельной биссектрисе. Наблюдатель А примет световой сигпал в мировой точке . Распространение светового сигнала, посланного наблюдателем А в обратном направлении, описывается прямой (параллельной биссектрисе квадрантов II и IV. не изображенной на чертеже). Наблюдатель А примет обратный сигнал в мировой точке По условию по определению -коэффициента . Точке в системе К соответствует момент времени (по часам, находящимся в точке т. е. у наблюдателя ). Очевидно, что . Время распространения второго сигнала от А до А равно, естественно, .

Далее отметим одну полезную теорему, касающуюся -коэффициента. Из формулы (3.49) видно, что изменение знака у относительной скорости, т. е. у величины В, меняет величину к на Это означает, что при той же самой абсолютной величине скорости удалению и приближению соответствуют обратные значения коэффициента к.

Теперь рассмотрим случай, когда есть три системы отсчета и три наблюдателя, располагающиеся в соответствующих началах отсчета Пусть -коэффициент для наблюдателей равен ; он зависит только от относительной скорости систем К и К (обозначим ее, как и раньше, через Если относительная скорость наблюдателей А и А" равна коэффициент к для этих наблюдателей к зависит только от Можно ли, зная к найти к Получим соответствующую формулу.

Пусть наблюдатель А посылает два световых сигнала, разделенных промежутком времени Т, отсчитанным по его часам. Наблюдатель А, принимающий эти сигналы, обнаружит, что они приходят через промежуток времепи к , как это следует из определения -коэффициента. Этот отсчет времени делается уже но часам А. Наблюдатель А" находится дальше от А, чем наблюдатель А, и сигналы, минуя наблюдателя А, идут дальше к . В тот момент, когда А принял первый сигнал от А, он без промедления (не пугайтесь, это мыслепиый опыт!) посылает сам световой сигнал к и к наблюдателю А" идут уже два сигнала: один — непосредственно идущий от А, второй — посланный наблюдателем А. Но оба сигнала световые, они идут с одинаковой скоростью и посланы от А в один и тот же момент. Фактически они идут как один сигнал.

Эту же самую процедуру наблюдатель А проделывает в момент получения второго сигпала от А. И снова от А к А" идет один сигнал, состоящий из двух световых импульсов, послашгых один раз от А, а второй — от

Наблюдатель А" примет два сигнала. С одной стороны, по определению, но своим часам он найдет промежуток времени между приходом сигналов равным к . С другой сторопы, эти же сигналы были посланы наблюдателем А с промежутком времени между ними к . По определению, наблюдатель А найдет, что промежуток времени между приходом этих сигналов равен к . Но сигналы от Л и от А пришли к А" одновременно, поэтому

Результат замечательно прост. Зная -коэффициенты для двух пар систем отсчета, в которые входит одна общая система, можно

получить неизвестные -коэффициенты для двух оставшихся систем простым умножением известных -коэффициентов.

Графически этот результат легко получается с помощью рис. 3.10. Здесь изображены мировые линии трех наблюдателей: Все наблюдатели в момент находились в одной и той же точке О. Спустя промежуток времени Т наблюдатель А посылает из мировой точки световой сигпал, мировая линия которого изображена пунктирной прямой По условию по определению . С другой стороны, очевидно, . Заметим, что предлагаемая схема годится для наглядного изображения «мысленных экспериментов», но пользоваться ею для геометрического определения различных величин нельзя. Плоскость — не обычная евклидова плоскость (см. гл. 4). Однако, сочетая наглядное геометрическое представление с алгебраическими определениями, мы не ошибемся.

Рис. 3.10. К выводу формулы (3.51),

Нетрудно найти формулу преобразования скоростей координатных систем. Пусть нас интересует относительная скорость систем К и если известны относительная скорость К и которую мы обозначим через V, и относительная скорость К и равная

Вводя уже известные обозначения получим, согласно (3.48), (3.49) и (3.51),

Переходя к обычным обозначениям, получаем формулу преобразования скоростей (3.28):

Из приведенных рассуждений видно, что моменты наступления событий и промежутки времени между событиями оказываются разными для наблюдателей из разных ИСО. Чтобы обнаружить это, вернемся к уже рассмотренному примеру обмена световыми сигналами между наблюдателями А и А. Напомним, что первый

«обмен» происходит в момент, когда наблюдатели находятся в одном месте. В этот самый момент часы наблюдателей А и А ставятся на нулевой отсчет. Затем А через промежуток времени Т по своим часам посылает сигнал, направленный к по определению промежуток времени, разделяющий прием первого и второго сигнала наблюдателем А, отсчитанный по часам А, равен Однако наблюдатель А припишет приходу сигнала к момент времени Это значит, что А будет считать, что посланные им через промежуток времени Т сигналы придут к Л с интервалом . По часам А этот же интервал, как сказано, ранен Таким образом, величина промежутка времени между двумя одпнми и теми же событиями — приходом первого и второго сигнала к А — оказывается различной: для А она равна а для А равна . Следовательно, мы обнаружили, что время наступления события (прихода второго сигнала) относительно: оно равно для А и для А. Промежуток времени между двумя событиями тоже оказался разным для А и А. Это и означает, что время наступления событий и промежуток времени между событиями — величины относительные.

При каких условиях эти величины все же совпадут? Это будет при условии . Нетрудно сообразить, что для этого нужно, чтобы к или, как это видно из (3.48), Это значит, что для тех ИСО, относительные скорости которых малы по сравнению со скоростью света, различием в отсчетах времени и относительностью промежутков времени между событиями можно пренебречь.

Собственное время. Метод -коэффициента позволяет легко установить связь промежутка времени между двумя событиями, наступающими в некоторой ИСО в одной точке пространства и. следовательно, фиксируемыми одними часами (промежуток собственного времени), с промежутком времени между теми же событиями, отсчитанным по двум часам другой ИСО, в которой рассматриваемые события происходят в разных точках.

Снова вернемся к обмену световыми зайчиками. Если А посылает сигналы через промежуток Т по своим часам, то А принимает эти сигналы с промежутком времени по своим часам. Однако для А, как мы видели (стр. 102), этот промежуток равен . Отношение этих величин и дает соотношение между промежутком собственного времени и промежутком времени отсчитанным по двум часам другой ИСО. Это отношение равно

где в последнем звене равенства использовано соотношение (3.48). Результат этот, конечно, нам известен.

Относительность длин линеек (расстояний). Представим себе что у нас есть две неподвижные точки в той системе отсчета, где покоится наблюдатель А. Можно считать (хотя это совсем не обязательно), что эти точки — концы линейки. Пусть линейка движется от наблюдателя А, а наблюдатель А находится на том конце линейки, который ближе к А (не забудьте, что линейка расположена вдоль той прямой, по которой направлена скорость относительного движения).

Чтобы определить длину линейки, наблюдатель А посылает в момент (отсчитанный но своим часам) сигнал и ждет, когда этот сигнал, отраженный от дальнего конца линейки, перпется к нему. Пусть момент возвращения этого сигнала (по часам А) равен Очевидно, момент отражения сигнала равен Точно так же можно послать сигнал к ближнему концу линейки (пусть в момент ) и определить момент его возвращения (допустим, ). Момент отражения сигнала от ближнего конца равен Для того чтобы оба сигнала отражались одновременно (по часам А) от обоих концов нииейки, необходимо выполнение условия

В мысленном эксперименте выполнение этого равенства можно обеспечить за счет выбора времен посылки первого и второго сигналов.

Но первый сигнал от А наблюдатель А, находящийся на ближнем конце линейки, примет в момент (напомним, что начальный отсчет часов А и А совпадал, когда оба наблюдателя находились в одной точке). Отраженный от дальнего конца линейки сигнал, который придет к Л в момент пройдет мимо А в момент Действительно, сигнал, полученный А в момент будет принят наблюдателем А в момент

Для наблюдателя А удвоенная длина линейки определяется как промежуток времени, необходимый для того, чтобы свет дошел до дальнего конца линейки и обратно, умноженный на скорость света, т. е.

Что касается соотношения между то оно следует непосредственно из определения -коэффициента:

Мысленные эксперименты, необходимые для измерения длины, изображены на рис. 3.11, к которому после разъяснения схем на рис. 3.9 и 3.10 не требуется особых пояснений.

Длина линейки, определяемая наблюдателем А, равна разности расстояний от него до дальнего и ближнего концов линейки при непременном условии, что эти расстояния определяются одновременно. У нас это условие обеспечено соблюдением равенства (3.52). Расстояние от А до дальнего конца равно , а до ближнего . Следовательно, А должен считать за длину линейки I величину

Соотношения (3.53) — (3.55) позволяют найти связь между

I и 10. Из (3.52) следует, что Подставив полученное выражение для в левую часть (3.53), получим, использовав сразу (3.54):

Так как, согласно (3.52), , то из (3.55) следует

Рис. 3.11. К определению длины движущейся линейки.

Теперь уже (3.56) примет вид

где в последнем равенстве учтена формула (3.50). Это как раз и есть полученная нами ранее ормула (3.5).

В этом выводе особенно отчетливо видно, насколько существенно при определении длины найти одновременное положение концов линейки. Заметим кстати, что вывод формулы (2.4), по существу, является также радиолокационным.

Преобразования Лоренца. Мы убедились в том, что методом --коэффициента можно получить все основные следствия первых принципов СТО — постулатов Эйнштейна. Преимуществом этого метода является то, что он позволяет избежать явного введения координатной системы.

Но, конечно, использование методов СТО в физике требует явного введения системы отсчета. А если так, введепие

преобразований Лоренца просто неизбежно. Преобразования Лоренца можно получить и методом -коэффициента.

Рассмотрим системы отсчета К и К, наблюдатели А и А в которых регистрируют одпо и то же событие. В обеих системах начало отсчета времени выбрано так, что когда оба начала отсчета О и О совпадают. Затем в момент наблюдатель А посылает световой сигнал к А, который тот принимает (по своим часам) в момент времепи сигнал, посланный А, идет дальше имеете с сигналом, посланным А в момент получения сигнала от А. Фактически вдоль оси х идет один сигнал, состоящий из двух. Пусть событие Р состоит в приходе этого сигнала в некоторую точку (или же приход сигнала совпадает с наступлением некоторого события). В этой точке сигнал отражается (если угодно, немедленно по приходе прямого сигнала посылается обратный). Сначала он попадает в момент к наблюдателю А, который сразу же с его приходом посылает в направлении А еще и свой сигнал. Теперь уже от А к А идет единый сигнал, фактически состоящий из двух. Этот сигнал принимается наблюдателем А в момент (рис. 3.12).

Рис. 3.12. К выводу преобразований Лоренца,

Наблюдатель А припишет событию Р координаты следующим образом. Время наступления события — это просто полусумма времени отправления и получения сигнала, поскольку скорость света на пути «туда» и «обратно» одинакова:

Расстояние до точки, где наступило событие, можно пайти, если умножить скорость распространения сигнала с на время прохождения сигнала туда; оно равно половине всего времепи, затраченпого на прохождение сигнала. Сигнал проделал замкнутый путь за время поэтому координата события х определится наблюдателем А как

Из (3.57) и (3.58) получим

Но наблюдатель А в точности так же найдет, что

Согласно определению коэффициента к, сопоставляя интервалы между обменом сигналами, получим

Согласно (3.59) и (3.60) получим

Перемножая накрест равенства (3.62) и (3.63), немедленно получим, что величина

сохраняет свое значение во всех ИСО, т. е. является инвариантом. Записав (3.62) и (3.63) в более удобной для решения форме:

без труда найдем, что

а учитывая (3.50), обнаружим, что это как раз и есть преобразования Лоренца: