§ 2.6. Распространение фронта световой волны. Интервал между событиями.

Проведем еще один мысленный эксперимент, рассматривая его с точки зрения двух ИСО — — находящихся в вакууме (К движется по общей оси со скоростью V).

В начальный момент когда по условию оба начала отсчета совпадают, в общем начале отсчета произведем вспышку света. Согласно второму постулату Эйнштейна свет распространяется по всем направлениям в К и К с одинаковой скоростью с. Следовательно, волновой фронт (т. е. поверхность равных фаз) будет представлять собой сферы в обеих системах К и К. Уравнения этих сфер можно сразу записать:

Если даже забыть все то, что уже говорилось о разных отсчетах времени и в системах , можно сказать, что мы написали для системы К справа вместо по следующим соображениям. Допустим, что время в системах К и К одинаково, т. е. Тогда радиусы обеих сфер (для данного момента оказываются одинаковыми. Получается, что один и тот же физический объект — волновой фронт — описывается с равным правом двумя сферами одинакового радиуса, но с центрами в точках О и О. Это бессмысленно. Значит, положить невозможно. Перепишем оба равенства в виде

В этом мысленном эксперименте фактически речь идет о двух событиях. Первое из них состоит в отправлении сигнала из начала системы отсчета в момент времени второе — в приходе сигнала в произвольную точку сферы с координатами х, у, z в момент времени Если составить выражение

которое называют интервалом между этими двумя событиями и обозначают символом то полученный нами результат можно сформулировать так: для двух событий, состоящих в отправлении светового сигнала из одной точки приходе его в другую, квадрат интервала между этими событиями в любой ИСО должен быть равен нулю:

Конечно, интервал между событиями может быть определен не только для отправления и прихода светового луча. Если координаты события 1 определяются числами а координаты события 2 — числами то по определению интервал между этими событиями равен

Однако для произвольных событий интервал уже не равен нулю.

Часто бывает удобно перейти к рассмотрению событий, происходящих в бесконечно близких точках и в бесконечно близкие моменты времени. Полагая в этом случае получим для квадрата интервала

Как мы сейчас покажем, основным свойством интервала между событиями является его инвариантность при переходе от одной инерциальной системы к другой.

Из мысленного эксперимента по посылке — приему светового сигнала следует согласно (2.17), что если в одной то и во всякой другой Обе величины — бесконечно малые одного порядка и поэтому должны быть пропорциональны друг другу. Следовательно, можно записать, что

где а — коэффициент пропорциональности. Это соотношение должно выполняться для интервала между любой нарой событий. Действительно, никаких условий на связь между интервалами для нары произвольных событий у нас пет, а для событий частного вида — приема и отправления светового сигнала — связь должна быть имеппо такой.

Коэффициент а не может зависеть от коордипат х, у, z и времепи потому что это означало бы, что различные точки пространства и различные моменты времепи неравноправны. Так как мы считаем пространство и время однородными, то а должно быть постоянной величиной, зависящей только от абсолютной величины относительной скорости двух рассматриваемых ИСО. Действительно, коэффициент а не может зависеть и от направления относительной скорости двух ИСО, так как это означало бы неравноправие различных направлений в пространстве. В силу изотропности пространства мы должны считать, что а может зависеть только от абсолютной величины относительной скорости рассматриваемых инерциальпых систем отсчета.

Рассмотрим три ИСО, обозначив их соответственно причем — скорость К относительно скорость К" относительно К. Мы можем написать, что

Рассматривая непосредственно системы К и можно записать

где абсолютная величина скорости системы К относительно Подставляя последнее выражение в и сравнивая с находим, что

Поскольку зависит не только от абсолютных величин векторов и , но и от угла между ними (а этот угол вообще не входит в носледнее соотношение), очевидно, удовлетворить соотношению можно тогда, когда коэффициент а сводится просто к постоянной величине; постоянная а, как это ясно из последнего равенства, может быть равна только единице. Поэтому

из равенства бесконечно малых интервалов вытекает равепство (интервалы и не могут отличаться на произвольную постоянную, поскольку из следует )

т. е. инвариантность интервала относительно преобразований координат и времени, согласующихся с постулатами Эйнштейна. Мы уже видели и еще раз убедимся в том, что такими преобразованиями являются преобразования Лоренца.

Таким образом, выражение должно оставаться неизменным при переходе от системы К к К. Когда системы К и К расположены так, как это изображено на рис. 1.2, и сумма уже является инвариантом. Поэтому инвариантом преобразования будет фактически выражение