§ 4.4. Псевдоевклидова плоскость.

Особенности псевдоевклидова пространства можно проиллюстрировать на примере псевдоевклидовой плоскости. Для этого одна из координатных осей должна быть обязательно осыо времени (или пропорциональной времени), потому что в СТО чисто пространственная геометрия остается еще евклидовой и лишь пространство-время описывается псевдоевклидовой геометрией. Удобнее всего при нашем выборе систем отсчета рассмотреть плоскость .

Рис. 4.1. а) Мировая линия тела, покоящегося в точке Мировая линия тела, равномерно движущегося по оси х.

Напомним, что четырехмерный пространственно-временной континуум, точками которого являются события, иногда называют миром Минковского. Каждое событие в нашем реальном физическом мире наступает в определенной мировой точке мира Минковского. Рассматривая частицу, можно считать за событие ее пребывание в данной точке в данный момепт времени. Независимо от того, движется частица в пространстве или нет, в мире Минковского последовательность происходящих с частицей событий образует некоторую кривую, называемую мировой линией частицы.

Проведом оси системы К перпендикулярно друг другу и рассмотрим простейшие случаи. Пусть частица покоится в системе К в точке ее мировой линией в плоскости мира Минковского будет прямая, параллельная оси (рис. 4.1, а). Пусть другая частица равномерно движется по оси х в системе К со скоростью . Ее мировой линией в этой системе будет уже прямая, наклоненная под углом к оси (рис. 4.1, б). Несколько позже мы увидим, что

Рассмотрим произволыюе движение частицы в этой системе отсчета. Движение точки представляется мировой линией в плоскости как это изображено на рис. 4.2.

Наклон мировой линии относительно оси в каждой данной точке определяется производной в этой точке. Действительно (см. рис. 4.2),

Таким образом, угол наклона определяется из равенства

где — мгновенная скорость точки (тела). Поскольку всегда , то для всякого движущегося тела угол не может превысить 45°. Для световых лучей мировой линией будет служить биссектриса координатного угла.

Рис. 4.2. Система действительных координат Положение частицы в заданный момент времени определяется точкой на этой плоскости. Движению частицы соответствует кривая на этой плоскости, называемая мировой линией точки, Мировые линии неподвижных точек — прямые, параллельные оси х. Мировая линия световых лучей — биссектриса координатного угла. В случае движения с пере менной скоростью угол, составляемый касательной к мировой линии и осью определяется из соотношения где — мгновенная скорость частицы.

В § 2.9 мы видели, что в результате преобразований Лоренца оси получаются из осей если эти оси, как ножницы, сдвипуть к биссектрисе — мировой линии светового луча. На рис. 4.3, а, где паряду с осями проведены оси наглядно видна относительность одновременности. В системе К одновременны все события, лежащие на оси х или вообще на прямых Геометрически все эти прямые параллельны оси х — это линии одновременности в системе К.

Рассмотрим два события и лежащие на оси х (два эти события происходят в системе К одновременно, в момент Чтобы узнать моменты времепи, в которые произойдут эти два события в системе К, их нужно «спроектировать» на ось проведя прямые, параллельпые оси х, потому что в системе К одновременны события, лежащие на прямых (рис. 4.3, а). Мы видим, что в системе К эти события происходят в разные моменты времени Конечно, это просто геометрическая иллюстрация относительности синхронизации часов, о которой шла речь в § 2.4.

Очень важный результат следует из рис. 4.3, б. На нем проведены мировые линии двух тел, движущихся равномерно, но с различными скоростями. Чтобы определить расстояние между пими в данный момепт времени, нужно пайти координаты этих тел одновременно в той системе, в которой это расстояние ищется. Ясно видно, что в системах К и К расстояние между телами, измеренное в какой-либо одной из систем К или К, оказывается различным.

Рис. 4.3. а) Преобразование Лоренца сводится к тому, что оси хит поворачиваются на угол вокруг качала координат но направлению к биссектрисе координатного угла занимают положения . Прямые параллельны теперь оси От, а прямые параллельны оси (мы перешли к прямолинейной, но косоугольной системе координат). Ясно видна относительность одновременности: события и А, одновременные и К (лежащие на прямой совеем не одновременны в К (чтобы найти соответствующие им моменты в системе К, мы проектируем их на ось с помощью прямых, параллельных оси х). б) Здесь проведены две мировые линии тел и Хорошо видна относительность расстояния между движущимися телами. Чтобы найти расстояние между ними, нужно определить координаты отих тел, по непременно одновременно. Пусть одно из тел находится в точке Тогда с точки ярения к в этот же самый момент второе тело находится в точке Но с точки прения К второе тело в этот же самый момент находится в точке Р. Отрезки и отражающие расстояние между телами, разные.

В силу равноправия систем отсчета ни одно из полученных расстояний нельзя считать истинным. Но тогда все законы механики, где сила зависит от расстояния, становятся для движущихся тел неоднозначными. В ньютоновской механике, где время было абсолютным, эта трудность, копечно, возникала.

Рассмотрим системы К (рис. 4.4). Если взять две мировые точки, то квадрат интервала между пими определяется выражением Для простоты будем считать, что событие 1 наступило в точке в момент т. е. в точке О. Любые события, наступившие на оси х до и после наступления события 1, изображаются точками на плоскости Так как квадрат интервала (расстояния) от события 1 до любого

события равен то эта плоскость разбивается на четыре квадранта I, II, III, IV прямыми соответствующими последовательности событий, состоящих в приходе луча, испущенного из точки в момент в точку х в момент . Интервал между событиями на прямых светоподобный, и «расстояние» на псевдоевклидовой плоскости между такими событиями равно нулю. Рассмотрим теперь четыре квадранта вне светоподобных прямых. В квадранте Следовательно, интервал между любым событием квадранта I и событием 1 времениподобный. Для всех событий этого квадранта следовательно, все они произойдут позже события 1 и изменить это никаким выбором системы отсчета нельзя. Это значит, что квадрант I есть область абсолютного будущего по отношению к О. В квадранте II также но в нем для всех событий область II — это область абсолютного прошедшего по отношению к событию 1.

Рис. 4.4. Сечение пространственно-временного конуса плоскостью Точка О — событие 1. Но отношению к событию О все события, лежащие в квадрантах III и IV, представляют собой абсолютно удаленные события; события, лежащие в квадранте представляют собой абсолютное будущее, а события, лежащие в квадранте абсолютное прошедшее.

В квадрантах III и IV т. е. интервал между любым событием, расположенным в этой области, и событием 1 нространственноподобный. Все эти события происходят в точках, не совпадающих с точкой, где произошло событие 1, и измепить это за счет выбора системы отсчета нельзя. Однако можно найти такие системы отсчета, в которых данпое событие из области III или IV наступило бы раньше, или позже, или, наконец, одновременно с событием 1, поскольку понятия «одновременно», «раньше» и «позже» для событий этой области относительны.

Если рассмотреть два события, расположенные произвольно на плоскости то характер интервала между ними определится наклоном прямой, соединяющей две эти точки. Если эта прямая наклонена к оси х под углом, большим то интервал между событиями 1 и 2 времениподобный; если под углом, меньшим пространственноподобный. Наконец, если эта прямая параллельна биссектрисе, — интервал светоподобный.

В четырехмерном пространстве уравнение, описывающее распространение света, имеет вид . С геометрической точки зрения в 4-пространстве это уравнение описывает «конус», который обычно называют световым конусом. Внутренние полости конуса соответствуют областям «абсолютного

будущего» и «абсолютного прошедшего». Световой конус, на котором лежат светоподобные направления, характеризуется еще и тем, что при всех переходах от одной ИСО к другой его положение в четырехмерном пространстве для каждой мировой точки остается неизменным.

Пусть событие состоит в приходе светового луча в определенную мировую точку, где находится наблюдатель. Таким образом, речь идет о паблюдепии световых сигналов в данной точке пространства и в дапный момент времени.

В заданную мировую точку световые лучи могут попасть только по тем направлениям четырехмерного пространства, которые лежат на «световом конусе прошедшего» до бесконечности (практически достаточно далеко в световых единицах). Каждой образующей этого копуса можпо сопоставить при этом точку на пространственной сфере бесконечно большого радиуса, в цептре которой находится наблюдатель. Такая условная сфера используется при наблюдениях небесных тел, она носит название небеспой сферы.

Рис. 4.5. Псевдопифагорова теорема в псевдоевклидовом пространстне.

Когда мы изображаем псевдоевклидову плоскость на листе бумаги, не следует забывать, что мы привыкли к соотношениям между длинами отрезков, привычным для евклидовой плоскости. На рис. 4.5 изображен прямоугольный треугольник, сторона которого равна , а — соответственно . По на этой плоскости — согласно определению квадрата интервала, но вопреки теореме Пифагора; это псевдопифагорова теорема. Поэтому, когда мы сравниваем длины отрезков на плоскости следует это делать осмотрительно.

На евклидовой плоскости геометрическое место точек, равноудаленных от начала координат, определяется уравнением — это окружность. На нсевдоевклидовой плоскости где квадрат расстояния от начала координат определяется соотношением геометрическим местом точек, «равпоудаленных» от начала координат (рис. 4.5), будут четыре гиперболы не обязательно положительно). Если выбрать гиперболу, для которой и провести лучи, выходящие из начала координат, до их пересечения с этой гиперболой, то отрезок каждого такого луча определит единичную «псевдоевклидову» длину в этом направлении. Можно дать физическую интерпретацию построения гиперболы Пусть в мировой точке рождаются частицы с разными скоростями, но с одним и тем

же временем жизпи Тогда геометрическим местом мировых точек, в которых происходит распад этих частиц, будет как раз гипербола мировыми лилиями этих частиц — лучи, выходящие из мировой точки и доходящие до этой гиперболы.

Рассмотрим в плоскости две пары равнобочных гипербол:

Нетрудно разбить плоскость на четыре квадранта, в каждом из которых заключено но одной гиперболе. Границы квадрантов окажутся асимптотами этих гипербол. Действительно, подставляя уравнение луча, проходящего через начало координат, с произвольным тангенсом угла наклона в уравнения гипербол (4.18) и (4.19), мы обнаружим, что координата пересечения определяется из уравнения Это уравнепие имеет действительный корепь лишь при условии При координата точки пересечения на оси х отодвинется в бесконечность. Это и означает, что лучи являются асимптотами этих гипербол. Таким образом, мировые линии световых лучей являются асимптотами гипербол (4.18), (4.19).

Рис. 4.6. В системе координат проведены четыре равнобочные гиперболы Поскольку преобразования Лоренца оставляют инвариантным выражение и в новых косоугольных координатах мы получим гиперболы Но означает, что четыре равнобочные гиперболы пересекают соответственно на расстояниях от начала координат, равных единице. Проведенные гиперболы называются масштабными.

Каждая из гипербол (4.18) и (4.19) пересекает только одну из осей — х или т. Точки пересечения гипербол (4.19) с осью х определяются из условия Мы видим, что гиперболы (4.19) пересекают ось х в точках . Аналогично находим, что гиперболы (4.18) пересекают ось в точках . Поскольку гиперболы (4.18), (4.19) отсекают на координатных осях единичные отрезки, естествепно пазвать эти гиперболы масштабными.

Так как выражение является инвариантом преобразований Лоренца, то и в системе К будут соблюдаться равенства из которых сразу же следует, что и на новых косоугольных осях те же самые гиперболы отсекают единичные отрезки.

Из рис. 4.6 непосредственно видно, что единичные отрезки на осях вовсе не равны друг другу. Не следует забывать, однако, что изображение псевдоевклидовой плоскости на евклидовой условно и что «собственные» единицы длипы выбраны одинаково.

Теперь уже легко пояснить геометрически, как возникает укорочение движущейся линейки. Изобразим на одпом чертеже оси и оси Проведем часть гиперболы, проходящей через первый квадрант координатных систем К к К (рис. 4.7). Отрезок изображает единичную линейку, покоящуюся в К.

Рис. 4.7. Геометрическая иллюстрация относительности длины линеек. Воспроизведен первый квадрант, изображенный и а рис. — линейка, покоящаяся в системе К. Мировые линии ее концов Гиперболах пересекает ось х в точке А, а ось х — в точке А. Таким образом, Чтобы найти одновременно положение концов линейки в системе К, следует пересечь мировые линии концов линейки какой-либо прямой например осью х (соответствующей моменту Тогда длина линейки с системе К оказывается равной Но

Рис. 4.8. На этом рисунке рассматривается случай, когда линейка покоится в К. Мировые линии ее концов — прямые, параллельные От (сама ось От и прямая, проходящая через В). Длина линейки в К определяется пересечением этих мировых линий с осью и оказывается равной и мы приходим к тому же результату: длина линейки наибольшая в той системе, где она покоится.

Ее мировые линии в системе К — прямые, параллельные оси проходящие через точки О и А. Но с точки зрения системы К одновременное положение концов отрезка в момент соответствует пересечению его мировых линий с осыо т. е. точкам О и Единичная линейка в К равна из рис. 4.7 видно, что

Допустим теперь, что единичная линейка покоится в системе К (рис. 4.8). Ее длина равна теперь а ее мировые линии параллельны оси одна из них — сама ось вторая — прямая Чтобы одновременно определить координаты концов линейки с точки зрения системы К, нужно пересечь мировые линии

концов липейки любой прямой Нам удобнее взять прямую Из рис. 4.8 видно, что

Теперь остановимся на геометрической иллюстрации относительности промежутков времени (рис. 4.9). Пусть часы покоятся в начале координат системы К. Их мировой линией будет просто ось От. В момент времени движущиеся часы были в начале координат системы К, где мы сравнили их показание с одними из часов системы К, находящимися в этой точке.

Как всегда, считаем, что при совпадении О и О часы из обеих систем показывают время и Тогда отрезки и соответствуют показаниям часов в системах и К.

Рис. 4.9. Геометрическая иллюстрация относительности промежутков времени между двумя событиями. Пусть часы покоится в системе К и расположены в начале координат О. Их мировая линия совпадает с осью От. Показание этих часов в мировой точке IV отличается на единицу от показания в точке О. По в системе К точка В одновременна мировой точке В (лежащей на одной прямой с точкой часы в которой (расположенные в этой точке и покоящиеся в К) покажут время, определяемое отрезком по отношению к показанию других часов из К, расположенных в точке О. Из чертежа видно, что Это и означает, что промежуток времепи перемещения часов системы К меньше с точки зрения К, чем с точки зрения К.

В мировой точке В показание движущихся часов увеличится на единицу по сравнению с их показанием в точке О. Но точка В в системе К одновременна со всеми событиями, расположенными на прямой проходящей через точку . В частности, мировая линия часов, находящихся в точке и покоящихся в К, как раз проходит через точку В. Это значит, что если движущиеся часы из К отсчитали промежуток собственного времени то промежуток времени, отсчитанный двумя часами из К (находящимися в точках О и равен Но из чертежа видно, что промежуток времепи, отсчитапный часами в К, меньше, поскольку а .

Если же часы покоятся в системе К, то они отсчитают единицу времени в мировой точке В (рис. 4.10), которая в системе К одновременна с точкой это показание часов системы К, которое обпаружит в точке В" наблюдатель из системы К). Точка В" получена пересечением прямой, параллельпой оси х и проходящей через точку с осью . Но следовательно, движущиеся часы отсчитают опять-таки промежуток времени больший, чем двое покоящихся часов. Длина дуги (псевдоевклидова!) мировой линии непосредственно связана с собственным времепем тела — она ему просто пропорциональна: Таким образом, длина дуги мировой линии позволяет судить о том, какое собственное время отсчитали часы, связанные с частицей. Но нужно помпить, что, пытаясь оценить длину дуги на нсевдоевклидовой плоскости, нужно быть

осмотрительным. «Опасности» ясны ужо из того, что для двух точек, находящихся на конечном пространственном расстоянии, «длина дуги», соединяющей их, может оказаться равной нулю Подумайте сами над тем, почему в приведенных выше рассужде ниях мы получили правильные результаты, опираясь на наглядные геометрические рассуждения. Конечно, особенности нсевдоевклидовой плоскости накладывают свой отпечаток на истолкование результатов. Рассмотрим в качестве примера отличие собственного времени от координатного, т. о. времени, отсчитываемого по часам системы, относительно которой тело движется.

Рис. 4.10. То же самое, что и на предыдущем рисунке, но теперь часы покоятся в начале системы К. Мировая линия часов — ось . В точке В часы отсчитают единицу времени. Но одновременными с этим моментом системе К будут события, лежащие на прямой, параллельной оси х и проходящей через точку В. Ясно, что т. е. покоящиеся часы отсчитают меньший промежуток времени, чем часы движущиеся.

Рис. 4.11. Различие между «собственным!» временем тела и координатным временем, отсчитываемым по многим часам системы отсчета, относительно которой частица движется.

Пусть часы покоятся в начале системы К, а их мировая линия — (рис. 4.11). Как обычно, совпадающие часы в О и О показывают

Мировые линии любых часов покоящихся в К, — прямые, параллельные оси . В мировых точках можно сверить часы с часами синхронизованными в К и показывающими к любой мировой точке общее, единое для К время. Его величина равна длине мировой линии для мировой точки Но для часов длина мировой линии, соединяющей О и равна уже Однако откуда ясно, что Это и означает, что часы которые сравниваются с часами покоящимися в системе К, отстают от часов которые синхронизованы в системе К.

Наконец, пусть сначала два человека («близнецы») находились в точке О. Затем один из них («путешественник») совершает равномерное и прямолинейное движение, за исключением небольшого промежутка времени, когда ему ириходится изменить направление скорости на обратное, чтобы снова вернуться в точку О.

Рис. 4.12. Мировые линии двух «близнецов». Мировая линия «путешественника» — ломаная мировая линия «домоседа»- прямая «Путешественник» испытывает ускорение, когда он изменяет направление своего движения в точке Л и тем самым оказывается в течение этого времени в неинерциальной системе отсчета. Длина мировой линии тела определяет промежуток собственного времени тела. Очевидно, что промежуток собственного времени у «путешественника» меньше, чем у «домоседа» (см. псевдопифагорову теорему на рис. 4.5).

Другой «близнец» все время остается в точке О. Из рис. 4.12 видно, что мировая линия «путешественника» длиннее мировой линии «домоседа». Однако согласно псевдопифагоровой теореме это значит, что по собственному времени «путешественник» прожил меньше, чем «домосед». К этому вопросу мы еще вернемся в гл. 8.