§ 5.3. Трехмерное релятивистское уравнение движения частицы (второй закон Ньютона в релятивистской форме).

Записав уравнение движения в 4-векторной форме (5.23) и определив компоненты 4-силы (силы Минковского), мы, во-первых, обеспечили удовлетворение принципа относительности, а во-вторых, получили четыре компоненты уравнения движения. Три компоненты дали нам собственно «уравнение движения» в трехмерной форме (5.27), а четвертая позволила определить релятивистское выражение для энергии (5.32). Уравнение (5.27) было получено из тех соображений, что уравнения динамики должны сохранять вид во всех ИСО, т. е. быть ковариантными по отношению к преобразованиям

Лоренца. Но даже не переходя от одной ИСО к другой, мы знаемг что точным уравнением движения является (5.26), а не (5.19). Выпишем два эти уравпения рядом и выясним, в чем состоит их отличие:

Прежде всего, ясно, что при когда уравнение (5.376) переходит в (5.37а). Это значит, что классическая механика является предельным случаем механики релятивистской, когда скорости частиц нерелятивистские. По это еще не все. Чтобы в классической механике выполнялся принцип относительности Галилея, необходимо, чтобы преобразования Галилея были справедливыми, а для этого нужно (§ 2.7), чтобы В 1, т. е. чтобы относительная скорость рассматриваемых систем отсчета также была бы нерелятивистской.

Иногда, сопоставляя (5.37а) и (5.376), говорят, что (5.376) отличается от (5.37а) только тем, что в (5.376) масса зависит от скорости, так что, приняв ту за релятивистскую массу, мы получаем классическое уравнение. Мы увидим сейчас, что все обстоит гораздо сложнее, а в Дополнении IV обсудим, почему не имеет смысла вводить зависимость массы от скорости вообще.

Для сравнения (5.37а) и (5.376) удобно переписать левую часть (5.376) на оспонании следующего тождества (см. также (5.31) и (5.32)):

Перегруппировав члены, можно переписать (5.37а) и (5.376) так:

Замечательно, что в ИСО, сопутствующей частице , (5.38а) совпадает с (5.386). Из этих соотношений сразу видно, что основное отличие релятивистского закона динамики (5.376) от классического (5.37а) состоит в том, что в релятивистском законе 3-ускорение, вообще говоря, уже не сонпадает по направлению с силой. Следовательно, простое сопоставление компонент силы и ускорения, какое легко проводится для случая (5.37а), уже просто невозможно. Из уравнения (5.386) видно, что все же есть два случая, когда ускорение и сила совпадают по цаправлепию, и тогда можно сравнить определение массы в (5.37а) и в (5.376).

а) Пусть сила, действующая на частицу, всегда перпендикулярна ее скорости, т. е. . Тогда из (5.386) сразу следует,

что уравнение движения имеет вид

причем как ото ясно из (5.31) и (5.32). Это вполне реальный случай — случай движения заряженной частицы в постоянном магнитном иоле. Сила Лоренца направлена так, что (всегда). Можно сказать, что движение релятивистской частицы в постоянном магнитном поле происходит согласно классическому уравнению движения (5.19), но с некоторой эффективной постоянной) массой ту. Но все это годится лишь для частного вида силы, удовлетворяющей условию . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим еще один случай.

б) Пусть сила, действующая на частицу, всегда направлена по направлению ее скорости. Это означает, конечно, прямолинейное движение частицы (при определенном выборе начальной скорости). Простым примером такого движения может служить движение заряженной частицы в плоском копдепсаторе (начальная скорость должна быть направлена по полю). Если то и из (5.386) мы получаем уравнение движения

причем уже переменная величина.

Таким образом, в двух частных случаях, допускающих сравнение (5.38а) и (5.386), мы получаем различную зависимость массы от скорости; это ясно указывает на то, что никакой универсальной зависимости массы от скорости не существует. Целесообразно пользоваться инвариантпой массой покоя (см. Дополнение IV).

Как и классической мехапике, уравнение динамики можно записать и для случая, когда масса покоя частицы меняется за счет обмена энергией и импульсом с окружающей средой. Если частица теряет в единицу времени 4-вектор импульса из-за конвекции, то вместо (5.22) следует написать

или

где только — настоящая механическая сила, удовлетворяющая условию Переписав (5.40) в компонентах, получим

Здесь П и Ф — импульс и энергия, подводимые конвективно к частице в единицу времени. Составив произведение

мы видим, что величина — скорость конвективного подвода энергии в системе покоя частицы; она равна скорости изменения энергии покоя частицы. Действительно, дифференцируя (5.40), имеем

Умножая левую и правую части (5.41) на и принимая во внимание, что и что получим

Если считать, что настоящая механическая сила должна удовлетворять условию

то в случае конвективной передачи импульса и энергии механической силой следует считать величину (см.

В отсутствие настоящей механической силы следует учитывать механическую «реактивную» силу

удовлетворяющую условию

В частном случае импульс II может приобретаться и не механическим образом, например, за счет излучения или обмена теплом между частицей и средой. В случае чистой теплопередачи 4-импульс тепла, подведенного к частице за время равен

Следовательно, являются импульсом и энергией тепла, подведенного за время . В этом случае 4-импульс подведенного тепла является 4-вектором.