§ 6.6. Сила Лоренца.

Займемся теперь силами, действующими на электрические заряды в электромагнитном поле. Чтобы не усложнять изложение, ограничимся объемным распределением зарядов . В сопутствующей системе отсчета К, где рассматриваемый элемент объема покоится вместе с зарядом, на заряд действует сила только со стороны электрического поля (магнитное поле на покоящийся заряд не действует). Сила, действующая на заряд, заключенный в едипице объема, называется плотностью силы. Если плотпость заряда в сопутствующей системе отсчета К равна плотность силы определяется формулой

где Е — напряженность электрического поля в К.

Переход к любой другой ИСО связан с изменением полей Е и В, причем если даже в сопутствующей системе магнитного поля не было, а было только электрическое, в любой другой ИСО появится магнитное поле. Найдем плотность силы выраженную через компоненты полей Е и В в произвольной инерциальной системе. Рассмотрим сначала случай нерелятивистских скоростей, когда при этом условии согласно (6.17) , а согласно (6.41) , поэтому

Формула (6.49) в последнем звене равенства определяет величину, которая обычно в электродинамике называется плотностью силы Лоренца. Сила Лоренца определяет силу, действующую на единицу объема, содержащего заряд, со стороны электрического и магнитного полей в системе К, относительно которой заряд движется со скоростью V- То, что сила в системе оказалась равной силе в системе К, совсем не удивительно, поскольку согласно (5.34) в нерелятинистском случае величина силы при переходе от одной ИСО к другой не меняется.

Конечно, формула (6.49) может быть иснользована и в том случае, когда скорость движения зарядов в различных точках пространства различна. В этом случае для каждого элемента объема сопутствующая система отсчета будет своя и, соответственно, скорость V будет в различных точках различной.

Выведем выражение для силы Лоренца еще одним способом, который наглядно показывает, как образуется выражение (6.49). Пусть в сопутствующей системе К есть электрическое и магнитное поля, задаваемые векторами Е и В.

Представим каждое из этих полей, воспользовавшись принципом суперпозиции, в виде суммы двух полей:

Очевидно, что исходное иоле представляет собой просто сумму двух полей: Однако формулы преобразования полей I и II порознь очень просты, и это позволит нам сразу получить ответ. В системе К

По первой формуле (6.45) можпо сразу записать электрическое поле I в системе К:

где — магнитное поле в К. Согласно (6.36) электрическое поле

II в системе К

в том случае, когда Полное электрическое поле в К равно сумме

Магнитное ноле В в системе К равно Составив векторное произведение мы видим второй формулы (6.44), определяющей что произведение и им в нерелятивистском случае можно пренебречь.

Поэтому и из (6.51) мы получаем силу Лоренца (6.49).

Если и системе К электрическое поле равно нулю а магнитное ноле отлично от нуля, то из (6.45) следует, что таким образом, сила Лоренца, которая выглядит в К как сила, действующая со стороны чистого магнитного поля, в сопутствующей системе К выглядит как сила, действующая со стороны чистого электрического поля. На от их примерах еще раз видно единство электромагнитного ноля и относительность его разделения на электрическое и магнитное поля.

Здесь уместно сказать два слова о силовых линиях поля. В каждой системе отсчета векторному полю можно сопоставить семейство векторных силовых линий. Формально эти линии определяются как кривые, касательпые к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора ноля в этой точке. Силовые линии — полезное вспомогательное понятие, позволяющее наглядно представить характер поля. По, в отличие от представлений прошлого века, этим линиям никто ужо не придает физического смысла.

Допустим, что движется заряд или ностояппый магнит. Стоит ли говорить, что имеете с ними движется ноле и силовые линии этого поля?

Поле — это способ описания того, что происходит и даппой точке пространства. При движении магнита происходит просто изменение поля в данной точке с течением времени. И все же для движепия заряда или магнита с ностояппой скоростью говорить о движении ноля допустимо, поскольку это поле движется вместе с ними как целое. Скорость переноса ноля — это скорость движения заряда или магнита. Однако о движении силовых линий лучше не говорить — скорость движения силовых линий не имеет физического смысла. Вспомогательный характер силовых линий особенно хорошо виден из того, что для одного из полей они просто могут исчезнуть в какой-то системе отсчета.

Для иллюстрации относительного характера сил, действующих в электромагнитном поле, разберем еще один пример. Рассмотрим цилиндрический проводник, по которому идет ток, и отрицательный заряд движущийся параллельно этому проводнику со скоростью V (рис. 6.3). Систему К мы свяжем с проводником, систему К — с зарядом. В системе К на заряд действует сила Лоренца, обусловленная магнитным нолем и направленная перпендикулярно оси проводника. Следовательно, заряд приближается к проводнику. По в системе К частица покоится и магнитное поле не оказывает действия на частицу. За счет чего заряд может изменить свое движение с точки зрения К?

Здесь необходимо вернуться к микроскопическому описанию того, что происходит в проводнике. Ток в проводнике образуется

за счет движения свободных электронов — положительные ионы и связапные (валентные) электроны перемещаться по проводнику не могут. Пусть плотность электронов проводимости равна , а их скорость в К (относительно проводника) равна . Плотность неподвижных зарядов равна , а в силу нейтральности проводника

Рис. 6.3. Взаимодействие заряда движущегося со скоростью V параллельно проводнику, по которому идет ток, и тока, а) В системе К проводник покоится, а заряд и электроны движутся со скоростью V. б) В системе К проводник движется со скоростью V а электроны и заряд покоятся.

Поскольку проводник нейтрален, вне его электрическое поле отсутствует, и сила, действующая на заряд обусловлена только магнитным полем:

Величина магнитного поля, создаваемого прямолинейным током на расстоянии от его оси, известна:

где — расстояние от оси в плоскости, перпендикулярной направлению тока; вектор В совпадает с касательной к окружности, лежащей в той же плоскости, с центром на оси тока. Направление вектора В определяется по правилу буравчика. Таким образом, сила, действующая на заряд, направлена к проводнику и равна

Ток можно выразить через скорость электронов проводимости их нлотность и площадь поперечного сечения

откуда

если для простоты будем считать равными скорости электронов в металле и заряда т. е. положим

Теперь рассмотрим ту же самую картину в системе К. В К заряд и свободные электроны неподвижны. Однако теперь уже движутся относительно заряда заряды, связанные с проводником,

плотность которых равна Они создают некоторое магнитное поле В, но оно не действует на заряд поскольку в К он неподвижен. Отсюда сразу ясно, что в системе К должно появиться электрическое поле, потому что и в К заряд должен отклоняться к оси. Его происхождение легко понять из полученных нами ранее результатов. В системе К электроны проводимости покоятся,

Рис. 6.4. а) В системе К плотность зарядов равна нулю, а плотность тока отлична от нуля и равна Поэтому электрического ноля нет, есть только магнитное поле В. б) В системе К возникает плотность зарядов а плотность тока становится равной у. Магнитное поле равно но, кроме него, появляется и электрическое поле поэтому (см. (6.17)). В системе К положительные заряды, связанные с проводником, движутся со скоростью —V, поэтому (в К эти заряды покоились). Результирующая плотность заряда в К равна поэтому

где учтено, что эта формула совпадает с (6.24). Следовательно, движущийся проводник заряжен положительно с объемной плотностью Но электрическое поле однородно заряженного цилиндра также известно из курса электродинамики. Оно лежит в плоскостях, перпендикулярных оси цилипдра, и направлено по лучам, исходящим из оси цилиндра. Его величина

Это значит, что сила, действующая на отрицательно заряженный заряд направлена к проводнику, а ее величина в К равна

Сравнивая этот результат с (6.52), мы видим, что в нерелятивистском приближении эти силы равны. Вспоминая, что силы преобразуются согласно (5.34), мы обнаруживаем, что оба способа описания наблюдаемого явления дают одинаковые результаты при любой скорости V. Результаты, относящиеся к полям в системах К и К, пояснены на рис. 6.4.

В заключение отметим, что все результаты, касающиеся сил, действующих на объемные заряды со стороны электромагнитного поля, получаются совсем просто, если плотность силы Лоренца (6.49)

записать в четырехмерпой форме. Чтобы перейти к четырехмерной записи, перепишем компоненту силы Лоренца по оси х так:

В этой цепи равенств учтено, что

Аналогичные выражения получаются для . Отсюда яспо, что 4-вектор плотности силы, действующей на заряд в электромагпитном поле, который мы будем обозначать через имеет компоненты

Мы уже подчеркивали, что разделение сил, действующих на заряд со стороны электрического и магпитпого полей, на части относительно. Обе силы составляют единое целое и, естественно, сливаются в одно четырехмерпоо выражение (6.53).

Первые три компоненты плотности, как мы видели, дают обычное трехмерное выражение (6.49). Найдем четвертую составляющую:

Величина имеет простой смысл, который сразу раскрывается, если обе части равенства (6.49) умножить скалярно на . Принимая во внимание, что получим

Левая часть последнего равенства представляет собой мощность силы Лоренца в единице объема (силы, действующие со

стороны магнитного поля, работы не совершают):

Таким образом, мы пришли к 4-вектору плотности силы, компоненты которого мы выпишем вместе:

Рассмотрим силу, действующую на единицу объема, содержащего заряд со стороны электромагнитного поля, в сопутствующей заряду системе отсчета Тогда Если перейти к любой другой системе отсчета К, то

Здесь получены формулы для плотности силы в системе К, выраженные через поля в системе К. Обычно плотность силы выражают через величины, отнесенные к той системе, в которой определяется и плотность силы. Если воспользоваться (6.17) и (6.36), то для нерелятивистских скоростей (пренебрегая членами

В заключение выпишем уравнение движения заряженной частицы в четырехмерной форме: